Modulare Funktion (harmonische Analyse)

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Die modulare Funktion ist ein Begriff aus der harmonischen Analyse, das heißt aus der Theorie der lokalkompakten Gruppen. Die modulare Funktion misst eine Links-rechts-Asymmetrie der Gruppe.

Definition

Es sei <math>G</math> eine lokalkompakte Gruppe. Dann gibt es bekanntlich ein linksinvariantes Haarsches Maß <math>\mu</math> auf <math>G</math>. Linksinvarianz bedeutet dabei, dass <math>\mu(tA) = \mu(A)</math> für alle <math> t\in G</math> und alle Borelmengen <math>A\subset G</math>. Daraus folgt im Allgemeinen nicht, dass <math>\mu</math> auch rechtsinvariant ist, das heißt, es kann durchaus <math>\mu(At) \not= \mu(A)</math> gelten.

Für festes <math>t\in G</math> ist die Abbildung <math>\mu_t\colon A \mapsto \mu(At)</math> ebenfalls ein linksinvariantes Haarsches Maß, wie man leicht bestätigen kann. Da ein solches bis auf eine Konstante eindeutig bestimmt ist, gibt es eine Zahl <math>\Delta_G(t)\in \R^+</math> mit <math>\mu_t \,=\, \Delta_G(t)\mu</math>, das heißt <math>\mu(At) \,=\, \Delta_G(t)\mu(A)</math> für alle messbaren <math>A\subset G</math>.

Auf diese Weise erhält man eine Abbildung <math>\Delta_G\colon G \rightarrow \R^+</math>, die sich als unabhängig von der Wahl des linksinvarianten Haarschen Maßes <math>\mu</math> erweist und ein stetiger Homomorphismus von <math>G</math> in die multiplikative Gruppe <math>\R^+</math> ist.<ref>Donald L. Cohn: Measure Theory. Birkhäuser, Boston MA 1980, ISBN 3-7643-3003-1, Satz 9.3.4.</ref> <math>\Delta_G</math> heißt die modulare Funktion von <math>G</math>

Unimodulare Gruppen

Gruppen, für die die modulare Funktion gleich der konstanten Funktion <math>\Delta_G(t)=1</math> für alle <math>t\in G</math> ist, nennt man unimodular. Das sind genau diejenigen Gruppen, für die ein linksinvariantes Haarsches Maß auch rechtsinvariant ist. Drei wichtige Typen lokalkompakter Gruppen sind automatisch unimodular:

Kommutative lokalkompakte Gruppen sind unimodular, denn wegen der Kommutativität sind linksinvariante Maße natürlich auch rechtsinvariant.
Kompakte Gruppen sind unimodular, denn das Bild der modularen Funktion muss eine kompakte Untergruppe in <math>\R^+</math> sein, und da kommt nur <math>\{1\}</math> in Frage.
Diskrete Gruppen sind unimodular, denn die Vielfachen des Zählmaßes sind genau die links- und rechtsinvarianten Haarschen Maße.

Ein Beispiel für eine unimodulare, lokalkompakte Gruppe, die unter keinen dieser drei Typen fällt, ist die allgemeine lineare Gruppe <math>GL(n,\R)</math>. Ein links- und rechts-invariantes Maß ist durch

<math> \mu(A) = \int_A\frac{1}{|\det(u)|}\,\mathrm{d}\lambda(u) </math>

gegeben, wobei <math>\lambda</math> das Lebesguemaß auf <math>\R^{n^2}</math> ist.

Beispiel

Wir geben hier ein Beispiel für eine nicht-triviale modulare Funktion. Es sei <math>G</math> die lokalkompakte Gruppe aller <math>2\times 2</math>-Matrizen

<math>\begin{pmatrix} a & b\\ 0 & 1 \end{pmatrix}</math>

mit <math>a,b\in \R, a>0</math>. Ein links-invariantes Haarsches Maß ist durch

<math>\mu(A) = \int_{\R} \int_{\R^+}\frac{1}{a^2}\,\mathrm{d}a\mathrm{d}b</math>

gegeben, ein rechtsinvariantes durch

<math>\nu(A) = \int_{\R} \int_{\R^+}\frac{1}{a}\,\mathrm{d}a \mathrm{d}b</math>.

Damit ergibt sich<ref>Donald L. Cohn: Measure Theory. Birkhäuser, Boston MA 1980, ISBN 3-7643-3003-1, Kapitel 9.3, Übung 2</ref>

<math>\Delta_G (\begin{pmatrix} a & b\\ 0 & 1 \end{pmatrix})\,=\,\frac{1}{a} </math>.

Rechenregeln

Es sei <math>G</math> eine lokalkompakte Gruppe mit linksinvariantem Haarschen Maß <math>\mu</math>. Für eine Funktion <math>f\colon G \rightarrow R</math> sei <math>f_s(t)\,:=\, f(ts^{-1})</math>, die sogenannte Translation von <math>f</math> um <math>s</math>.

Ist <math>\chi_A</math> die charakteristische Funktion der Borelmenge <math>A</math>, so ist <math>(\chi_A)_s = \chi_{As}</math> und daher nach Konstruktion der modularen Funktion

<math>\int (\chi_A)_s(t)\mathrm{d}\mu(t) = \int \chi_{As}(t)\mathrm{d}\mu(t) = \mu(As) = \Delta_G(s)\mu(A) = \Delta_G(s) \int \chi_A(t) \mathrm{d}\mu(t)</math>.

Mit den üblichen maßtheoretischen Schlüssen erhält man daraus für jede <math>\mu</math>-integrierbare Funktion <math>f</math>:<ref>Donald L. Cohn: Measure Theory. Birkhäuser, Boston MA 1980, ISBN 3-7643-3003-1, Text nach Satz 9.3.3.</ref>

<math>\int f_s(t) \mathrm{d}\mu(t) = \Delta_G(s) \int f(t) \mathrm{d}\mu(t)</math>.

Weiter tritt die modulare Funktion auf, wenn man über invertierte Argumente integriert. Für <math>\mu</math>-integrierbare Funktionen <math>f</math> auf <math>G</math> gilt<ref>Lynn H. Loomis: An Introduction to Abstract Harmonic Analysis. D. van Nostrand Co., Princeton NJ u. a. 1953, § 30B.</ref>

<math>\int f(t^{-1})\Delta_G(t^{-1})\mathrm{d}\mu(t) \,=\, \int f(t) \mathrm{d}\mu(t)</math>.

Schließlich kommt die modulare Funktion in der Definition der Involution auf der Faltungsalgebra <math>L^1(G)</math> vor. Auf dem <math>L^1</math>-Raum über <math>(G,\mu)</math> definiere man für Funktionen <math>f,g \in L^1(G)</math>

<math> f \star g(t) \,:= \int f(s)g(s^{-1}t) \mathrm{d}\mu(s) </math>

<math> f^*(t) := \Delta_G(t^{-1})\overline{f(t^{-1})} </math>.

Dabei ist <math>f\star g</math> nur fast überall definiert, nämlich dort, wo das Integral existiert, und der Querstrich steht für die komplexe Konjugation. Mit dem durch <math>\star</math> definierten sogenannten Faltungsprodukt und der Abbildung <math>f\mapsto f^*</math> wird <math>L^1(G)</math> zu einer Banachalgebra mit isometrischer Involution.<ref>Jacques Dixmier: C*-algebras (= North-Holland Mathematical Library. Bd. 15). North Holland Publishing Company, Amsterdam u. a. 1977, ISBN 0-7204-2450-X, Kapitel 13.2.</ref> Die Untersuchung dieser Banachalgebra ist ein wichtiges Instrument der harmonischen Analyse.

Einzelnachweise