Ungleichungen in Vierecken
Ungleichungen in Vierecken sind Ungleichungen, die verschiedene Größen in einem Viereck zueinander in Beziehung setzen. Die Ungleichungen gelten, wenn sich das Viereck im (ungekrümmten) Euklidischen Raum <math>\R^3</math> befindet. <math>a, b, c, d</math> bezeichnen im Folgenden die Seitenlängen, <math>e,f</math> die Diagonallängen eines Vierecks.
Verallgemeinerte Dreiecksungleichung
In jedem Viereck ist die Summe dreier beliebiger Seitenlängen größer als die vierte Seitenlänge:
- <math>a+b+c>d, \quad b+c+d>a, \quad a+c+d>b, \quad a+b+d>c.</math>
Daraus folgt:
- <math>a^2+b^2+c^2>\frac{d^2}3</math>
Ptolemäische Ungleichung
In jedem Viereck gilt die Ungleichung des Ptolemäus:
- <math>a\cdot c+b\cdot d\geq e\cdot f</math>.
Im Falle eines Sehnenvierecks gilt Gleichheit (Satz von Ptolemäus).
Ungleichung zwischen Umfang und Diagonalen
In jedem konvexen Viereck liegt die Summe der Diagonalenlängen zwischen dem halben und dem ganzen Umfang:
- <math>\frac{1}{2}(a+b+c+d)<e+f<a+b+c+d</math>
Vierecksungleichung für Metriken
Aus der Dreiecksungleichung folgt die Vierecksungleichung in einem metrischen Raum:
- <math>\Big| d(x,y) - d(u,v) \Big| \leq d(x,u) + d(v,y)</math>.
Dabei sind <math>x, y, u, v</math> beliebige Punkte des metrischen Raumes. <math>d</math> bezeichnet die Abstandsfunktion.
Beweis:
Durch mehrfache Anwendung der Dreiecksungleichung erhält man zunächst
- <math>d(x,y) \leq d(x,u) + d(u,v) + d(v,y)</math> bzw.
- <math>d(u,v) \leq d(u,x) + d(x,y) + d(y,v)</math>.
Die Behauptung folgt daraus mithilfe einer Fallunterscheidung. Für <math>d(x,y) - d(u,v)\geq 0</math> ergibt sich
- <math>\Big| d(x,y) - d(u,v)\Big| =d(x,y) - d(u,v) \leq d(x,u) + d(u,v) + d(v,y) - d(u,v) = d(x,u) + d(v,y)</math>,
für <math>d(x,y) - d(u,v)\leq 0</math> entsprechend
- <math>\Big| d(x,y) - d(u,v)\Big| =d(u,v) - d(x,y) \leq d(u,x) + d(x,y) + d(y,v) - d(x,y) = d(x,u) + d(v,y)</math>.
Siehe auch
Literatur
- Oene Bottema et al: Geometric Inequalities. Wolters-Noordhoff Publishing, Gronigen 1969, S. 128–136 (Digitalisat) (Seite nicht mehr abrufbar, festgestellt im April 2026. Suche im Internet Archive )
- Martin Josefsson: A few Inequalities in Quadrilaterals. In: International Journal of Geometry, Band 4, Ausgabe 1, S. 11–15 (Digitalisat)
- Dragoslav S. Mitrinovic, J. Pecaric, V. Volenec: Recent Advances in Geometric Inequalities. Kluwer Academic Publishing, S. 401–412
