Trägermenge

Die Trägermenge<ref name=":0">Günther Eisenreich: Algebra (universelle). In: Lexikon der Algebra. Reprint 2021 Auflage. De Gruyter, Berlin Boston 2022, ISBN 978-3-11-258281-7. </ref> ist ein Begriff aus der Mathematik. Als Trägermenge bezeichnet man eine Menge, auf der mit Hilfe einer Menge von Verknüpfungen und/oder Relationen eine mathematische Struktur gebildet wird. In der Praxis handelt es sich meist um algebraische Strukturen.

Definition

Eine Menge mit einer Struktur hat im Allgemeinen die Form eines Tupels

<math>\mathfrak{A}=\left(A;(f_i)_{i\in I},(R_j)_{j\in J}\right)</math>

mit einer Trägermenge <math>A</math>, einer Familie von Verknüpfungen <math>(f_i)_{i\in I}</math> und einer Familie von Relationen <math>(R_j)_{j\in J}</math> (eine nullstellige Verknüpfung ist eine Konstante)<ref>Heinz-Dieter Ebbinghaus, Jörg Flum, Wolfgang Thomas: Einführung in die mathematische Logik (= Spektrum-Hochschultaschenbuch). 4. Aufl., korrigierter Nachdr. Spektrum, Akad. Verl, Heidelberg Berlin 1998, ISBN 978-3-8274-0130-4. </ref>.<ref>S. Burris, H. P. Sankappanavar: A Course in Universal Algebra. Springer-Verlag, New York, ISBN 978-1-4613-8132-7, S. 26. </ref><ref name=":0" />

Meistens benennt man die Struktur nach ihrer Trägermenge. Dies macht es aber oft notwendig die Struktur so zu kennzeichnen, dass einerseits die Zugehörigkeit zur Trägermenge erkennbar ist und andererseits beide Bezeichnungen nicht verwechselt werden können.

Beispiele

Eine Trägermenge tritt bei verschiedensten mathematischen Strukturen als die zugrunde liegende Menge der betrachteten Objekte auf.

In der Algebra ist bei einer Gruppe <math>(G, \circ)</math> die Menge <math>G</math> die Trägermenge, auf der die Verknüpfung <math>\circ</math> definiert ist. Entsprechend ist bei einem Ring <math>(R, +, \cdot)</math> die Menge <math>R</math> die Trägermenge.

In der Topologie ist bei einem topologischen Raum <math>(X, \tau)</math> die Menge <math>X</math> die Trägermenge, während <math>\tau</math> die Topologie auf <math>X</math> beschreibt.<ref>Wolfgang Tzschoppe: Struktur der Mathematik - Mathematik der Strukturen. Books on Demand, 2012, ISBN 978-3-8448-3591-5, S. 122 (google.de [abgerufen am 28. März 2026]). </ref>

In der Maßtheorie ist bei einem Maßraum <math>(X, \mathcal{A}, \mu)</math> die Menge <math>X</math> die Trägermenge, auf der die σ-Algebra <math>\mathcal{A}</math> und das Maß <math>\mu</math> definiert sind.

In der Analysis ist bei einem Banachraum <math>(V, \|\cdot\|)</math> die Menge <math>V</math> die Trägermenge, auf der die Norm <math>\|\cdot\|</math> definiert ist.

In der Differentialgeometrie ist bei einer riemannschen Mannigfaltigkeit <math>(M, g)</math> die Menge <math>M</math> die Trägermenge, während <math>g</math> die riemannsche Metrik beschreibt.

In der Ordnungstheorie ist bei einer (teilweise) geordneten Menge <math>(P, \leq)</math> die Menge <math>P</math> die Trägermenge, während <math>\leq \, \subseteq \, {P \times P}</math> die zugehörige Halbordnungsrelation darstellt.<ref>Bernhard Ganter: Diskrete Mathematik: Geordnete Mengen (= Springer-Lehrbuch). Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-37499-9, S. 160, doi:10.1007/978-3-642-37500-2. </ref>

In vielen Fällen wird die Struktur selbst mit demselben Buchstaben wie ihre Trägermenge bezeichnet, sofern keine Verwechslungsgefahr besteht.

Einzelnachweise