Thomsonsche Schwingungsgleichung

Mit der Thomsonschen Schwingungsgleichung lässt sich die Resonanzfrequenz <math>f_0</math> eines Schwingkreises (Reihenschwingkreis und idealer Parallelschwingkreis) mit der Kapazität <math>C</math> und der Induktivität <math>L</math> berechnen. Sie wurde 1853 von dem britischen Physiker William Thomson erstmals formuliert und lautet:

Oder umgeformt für die Periodendauer (Schwingungszeit):

Herleitung

Allgemein

Im Resonanzfall ist der Resonanzwiderstand so groß wie der Serienwiderstand. Der kapazitive Widerstand <math>X_C</math> des Kondensators und der induktive Widerstand <math>X_L</math> der Spule innerhalb des Schwingkreises kompensieren sich auf null:

<math>X_L + X_C = 0 \quad\Leftrightarrow\quad \omega_0 L - \frac{1}{\omega_0 C} = 0</math>

<math>\omega_0 L = \frac{1}{\omega_0 C}</math>

<math>2\pi f_0 L = \frac{1}{2\pi f_0 C}, \quad</math> da gilt <math>\quad \omega=2 \pi f</math>

<math>f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}, \quad</math> üblich ist auch die Form: <math>\quad\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}</math>

Nach dem Energieerhaltungssatz

Betrachten wir den elektrischen Schwingkreis als ein geschlossenes System, so ist die Summe aller Energieformen in diesem System zu jeder Zeit <math>t</math> konstant.

<math>E_\text{mag}(t) + E_\text{el}(t) = E_\text{Gesamt}</math>

<math>E_\text{mag}</math>: magnetische Feldenergie der Spule

<math>E_\text{el}</math>: elektrische Feldenergie des Kondensators

<math>E_\text{Gesamt}</math>: Gesamtenergie des Systems (konstant)

Setzt man die entsprechenden Formeln ein, so kommt man auf folgende Differentialgleichung:

<math>\frac{1}{2}LI^2(t) + \frac{1}{2C}Q^2(t) = E_\text{Gesamt}</math>

Aus

folgt:

<math>\frac{1}{2}L\dot Q^2(t) + \frac{1}{2C}Q^2(t) = E_\text{Gesamt}</math>

Nun leitet man diese Gleichung nach der Zeit ab und erhält:

<math>I(t)\left(L \ddot Q + \frac{1}{C}Q(t)\right) = 0</math>

<math>L \ddot Q + \frac{1}{C}Q(t) = 0</math>, da im Schwingkreis gilt: <math>I(t) \ne 0</math>.

Um diese Gleichung zu lösen, müssen wir einen Zusammenhang zwischen <math>Q(t)</math> und <math>\ddot Q(t)</math> herstellen. Dazu verwenden wir eine Sinusfunktion als Lösungsansatz, da sie sich auf Grund ihrer Periodizität gut zur Beschreibung einer Schwingung eignet.

<math>Q(t) = \hat Q \cdot \sin(\omega t + \varphi)</math>

<math>\dot Q(t) = \omega \hat Q \cdot \cos(\omega t + \varphi)</math>

<math>\ddot Q(t) = -\omega^2 \hat Q \cdot \sin(\omega t + \varphi) = -\omega^2 \cdot Q(t)</math>

<math>\hat Q</math>: maximale Ladung (Amplitude)

<math>\omega</math>: Kreisfrequenz

<math>\varphi</math>: Phasenverschiebung

Durch Einsetzen ergibt sich:

<math>\frac{1}{C}Q(t)-\omega^2 L Q(t) = 0</math>

<math>Q(t)\left(\frac{1}{C} - \omega^2 L\right) = 0</math>

<math>\frac{1}{C} - \omega^2 L = 0</math>, da im Schwingkreis gilt: <math>Q(t) \ne 0</math>

Daraus folgt mit <math>\omega = 2\pi f</math>:

Die thomsonsche Schwingungsgleichung gilt nur für Serienschwingkreise und ideale Parallelschwingkreise. Bei komplexeren Topologien muss, ausgehend von <math>\left\vert X_L \right\vert = \left\vert X_C \right\vert</math>, die Frequenz abgeleitet werden.

Des Weiteren muss bei der Anwendung der thomsonschen Schwingungsgleichung darauf geachtet werden, dass sich das jeweilige System im Schwingfall befindet – die Dämpfung durch den ohmschen Widerstand also nicht zu groß ist. Bei nicht zu großer Dämpfung kann die beim Parallelschwingkreis veränderte Resonanzfrequenz mit dem Verlustwiderstand R_L von L berechnet werden:

<math>\omega_D = \omega_0{\sqrt{1-R_L^2 \frac{C}L}}</math>

Literatur

Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. 12. Auflage. Band 1. Vieweg + Teubner, 2009, ISBN 978-3-8348-0545-4.

Weblinks

Elektromagnetischer Schwingkreis ungedämpft (LEIFI)