Thom-Vermutung

Die Thom-Vermutung ist in der Mathematik eine inzwischen bewiesene, auf René Thom zurückgehende Vermutung über Flächen in der komplex-projektiven Ebene. Die Vermutung und ihre Verallgemeinerung auf symplektische Mannigfaltigkeiten waren eine wichtige Motivation bei der Entwicklung analytisch-topologischer Methoden wie den Seiberg-Witten-Invarianten.

Hintergrund

Glatte algebraische Kurven <math>C</math> in der komplex-projektiven Ebene sind gegeben durch homogene Polynome. Sie sind komplex 1-dimensionale Mannigfaltigkeiten, also topologische Flächen. Das Geschlecht einer durch ein Polynom vom Grad <math>d</math> gegebenen algebraischen Kurve berechnet sich nach der Formel

<math>g = (d-1)(d-2)/2</math>.

Vermutung

Die nach René Thom benannte Thom-Vermutung besagt: Wenn <math>\Sigma</math> eine in die komplex-projektive Ebene eingebettete differenzierbare Fläche ist, die dieselbe Homologieklasse repräsentiert wie eine durch ein homogenes Polynom vom Grad <math>d</math> gegebene glatte algebraische Kurve, dann erfüllt das Geschlecht <math>g</math> der Fläche <math>\Sigma</math> die Ungleichung

<math>g \geq (d-1)(d-2)/2</math>.

Insbesondere ist jede algebraische Kurve <math>C</math> eine Fläche minimalen Geschlechts (Thurston-Norm-minimierende Fläche) in ihrer Homologieklasse.

Man sieht leicht, dass die 2. Homologie der komplex-projektiven Ebene isomorph zu den ganzen Zahlen <math>\mathbb Z</math> ist, glatte algebraische Kurven vom Geschlecht <math>d</math> entsprechen unter diesem Isomorphismus der Zahl <math>d\in\mathbb Z</math>. Die Thom-Vermutung berechnet also die Thurston-Norm (das minimale Geschlecht) für alle Homologieklassen in <math>H_2(\mathbb CP^2)</math>.

Beweis

Wenige Wochen nachdem Edward Witten die Seiberg-Witten-Invarianten in die Mathematik eingeführt hatte, bewiesen Kronheimer–Mrowka im Oktober 1994 die Thom-Vermutung mit Hilfe dieser neuen Invarianten.<ref> Kronheimer, P. B.; Mrowka, T. S.: The genus of embedded surfaces in the projective plane. Math. Res. Lett. 1 (1994), no. 6, 797–808</ref>

Verallgemeinerung

Die symplektische Thom-Vermutung besagt, dass symplektische Flächen in symplektischen 4-Mannigfaltigkeiten Flächen minimalen Geschlechts in ihrer Homologieklasse sind. Die Thom-Vermutung ist ein Spezialfall, weil die glatten algebraischen Kurven symplektische Untermannigfaltigkeiten bzgl. der kanonischen symplektischen Struktur auf der komplex-projektiven Ebene sind.

Die symplektische Thom-Vermutung wurde mit Hilfe von Seiberg-Witten-Invarianten durch Morgan–Szabó–Taubes für symplektische Flächen nichtnegativer Selbstschnittzahl bewiesen.<ref>Morgan, J. W.; Szabó, Z.; Taubes, C. H.: A product formula for the Seiberg-Witten invariants and the generalized Thom conjecture. J. Differential Geom. 44 (1996), no. 4, 706–788</ref> Den allgemeinen Beweis für die symplektische Thom-Vermutung gaben schließlich Ozsváth und Szabó ebenfalls mit Hilfe von Seiberg-Witten-Invarianten.<ref>Ozsváth, P.; Szabó, Z.: The symplectic Thom conjecture. Ann. of Math. (2) 151 (2000), no. 1, 93–124</ref>

Es ist allerdings im Allgemeinen eine schwierige Frage, welche Homologieklassen einer symplektischen Mannigfaltigkeit sich durch symplektische Untermannigfaltigkeiten repräsentieren lassen.

Einzelnachweise