Thom-Raum

Der Thom-Raum oder Thom-Komplex, benannt nach René Thom, ist in der algebraischen Topologie und Differentialtopologie ein einem Vektorbündel zugeordneter topologischer Raum.

Konstruktion des Thom-Raums

Ein k-dimensionales reelles Vektorbündel <math>E</math> über einem parakompakten Raum <math>B</math> sei durch

<math>p \colon E \to B </math>

gegeben. Dann ist für jeden Punkt <math>b</math> der Basis <math>B</math> die Faser <math>F_b</math> des Vektorbündels ein k-dimensionaler reeller Vektorraum. Ein zugehöriges Sphärenbündel <math>\operatorname{Sph}(E) \to B</math> kann durch separate Einpunktkompaktifizierung jeder Faser gebildet werden. Aus dem Bündel <math>\operatorname{Sph}(E)</math> erhält man den Thom-Komplex <math>T(E)</math> indem alle neu hinzugefügten Punkte mit dem Punkt <math>\infty</math> identifiziert werden, dem Basispunkt von <math>T(E)</math>.

Thom-Isomorphismus

Die Bedeutung des Thom-Raums ergibt sich aus dem Satz über den Thom-Isomorphismus aus der Theorie der Faserbündel (hier mittels <math>\Z_2</math>-Kohomologie formuliert, um Komplikationen aus Orientierbarkeitsfragen zu vermeiden).

Mit <math>p \colon E \to B </math> wird wie im vorigen Abschnitt ein reelles Vektorbündel bezeichnet. Dann gibt es einen Isomorphismus, den Thom-Isomorphismus

<math>\Phi \colon {H}^i(B; \mathbf{Z}_2) \to \tilde{H}^{i+k}(T(E); \mathbf{Z}_2)</math>,

für alle <math>i\ge 0</math>, wobei die rechte Seite die reduzierte Kohomologie ist.

Der Isomorphismus lässt sich geometrisch als Integration über die Fasern interpretieren. Im Spezialfall eines trivialen Bündels ist <math>T(E)=S^kB_+</math> die <math>k</math>-fache Einhängung der Basis und der Thom-Isomorphismus folgt aus dem Einhängungs-Isomorphismus <math>\tilde{H}^i(B)=H^{i+1}(SB)</math>. Der Thom-Isomorphismus gilt auch für verallgemeinerte Kohomologietheorien.

Der Satz wurde von René Thom in seiner Dissertation 1952 bewiesen.

Thom-Klasse

Thom gab auch eine explizite Konstruktion des Thom-Isomorphismus. Dieser bildet das neutrale Element von <math>H^*(B)</math> auf eine Klasse <math>U</math> in der <math>k</math>-ten Kohomologiegruppe des Thom-Raumes ab, die Thom-Klasse. Damit kann man für eine Kohomologieklasse <math>b</math> in der Kohomologie des Basisraums den Isomorphismus über den Rückzug der Bündel-Projektion und das kohomologische Cup-Produkt berechnen:

<math>\Phi(b) = p^*(b) \smile U.</math>

Thom zeigte in seiner Arbeit von 1954 weiter, dass die Thom-Klasse, die Stiefel-Whitney-Klassen und die Steenrod-Operationen miteinander verbunden sind. Weiter zeigte er, dass die Kobordismengruppen als Homotopiegruppen bestimmter Räume <math>MSO(n)</math> berechnet werden können, die selbst als Thom-Räume konstruiert werden können. Sie bilden im Sinne der Homotopietheorie ein Spektrum <math>MSO</math>, genannt Thom-Spektrum. Das war ein wichtiger Schritt zur modernen stabilen Homotopietheorie.

Falls Steenrod-Operationen definiert werden können, kann man mit ihnen und dem Thom-Isomorphismus Stiefel-Whitney-Klassen konstruieren. Nach Definition sind die Steenrod-Operationen (mod 2) natürliche Transformationen

<math>Sq^i \colon H^m(-; \mathbf{Z}_2) \to H^{m+i}(-; \mathbf{Z}_2)</math>,

definiert für alle natürlichen Zahlen <math>m</math>. Falls <math>i=m</math> ist, stimmt Sqⁱ mit dem Quadrat des Cup überein. Die <math>i</math>-ten Stiefel-Whitney-Klassen <math>w_i(p)</math> des Vektorbündels <math>p\colon E\to B</math> sind dann gegeben durch:

Siehe auch

Literatur

J. P. May: A Concise Course in Algebraic Topology. University of Chicago Press, Chicago IL u. a. 1999, ISBN 0-226-51182-0, S. 183–198 (Chicago Lectures in Mathematics Series).
Dennis Sullivan: René Thom's Work on Geometric Homology and Bordism. In: Bulletin of the American Mathematical Society. 41, 2004, S. 341–350, online .
René Thom: Espaces fibrés en sphères et carrés de Steenrod. In: Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure. Sér. 3, 69, 1952, S. 109–182, online.
René Thom, Quelques propriétés globales des variétés differentiables. In: Commentarii Mathematici Helvetici. 28, 1954, S. 17–86, online.