Theil-Index

Vorlage:Hinweisbaustein Der Theil-Index gehört zu der Klasse der Ungleichverteilungsmaße und wurde von dem Ökonometriker Henri Theil entwickelt. Er dient der statistischen Beschreibung von Einkommens- und Vermögensverteilungen.

Der Theil-Index kann zur Beschreibung der Ungleichheit innerhalb und zwischen Gruppen zerlegt werden. Diese Zerlegbarkeit ist ein wichtiger Unterschied zu dem Gini-Koeffizient, einem populäreren Ungleichheitsmaß.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Definition

Für <math>n</math> Personen mit Einkommen <math>y_1, \dots, y_n</math> ist das Durchschnittseinkommen <math>\mu= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n y_i </math> und es werden Theil-Indizes <math>T_L, T_T, T_S</math> unter der Konvention <math>0 \cdot \ln{0} = 0</math> wie folgt definiert:

<math>

T_T=T_{\alpha=1}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \left( \frac{y_i}{\mu} \cdot \ln{\frac{y_i}{\mu}} \right) </math>

<math>

T_L=T_{\alpha=0}=MLD=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \left( \ln{\frac{\mu}{y_i}} \right) </math>

<math>

T_S=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \left[\frac{1}{2}\left(\frac{y_i}{\mu} - 1\right)\ln(y_i) \right] </math>

MLD steht hierbei für mean log deviation. Es gelten dabei die Beziehungen

<math>T_L(y)=T_T\left(\frac{1}{y}\right)</math>

<math>T_L=0 \quad \Leftrightarrow \quad T_T=0\quad \Leftrightarrow \quad T_S=0 \quad \Leftrightarrow \quad y_i=\mu \quad \text{für alle } i</math>

<math>T_T=\ln(n)\quad \Leftrightarrow \quad y_i=n\mu \quad \text{für ein } i</math>

<math>T_S(y)=T_S\left(\frac{1}{y}\right)</math>

Beziehungen/Ableitungen

Claude Shannon entwickelte sein Entropie-Maß aus der Wahrscheinlichkeit des Auftretens eines Ereignisses. Theil leitete seinen Index daraus ab. Der Theil-Index kann als die Wahrscheinlichkeit verstanden werden, mit der ein von einer Bevölkerung entnommener Euro von einem bestimmten Individuum stammt. Das ist das Gleiche wie der erste Ausdruck: Der Anteil eines Individuums am Gesamteinkommen.

Ist <math>S</math> das Shannons-Maß, so gilt

<math>

T=\ln(N)-S </math>.

<math>e^T</math> ist ein Gleichverteilungsmaß, mit dazugehörigem Ungleichverteilungsmaß <math>\left(1-e^T\right)</math>.

Zerlegbarkeit

Der Theil-Index aggregiert die gewichtete Summe der Ungleichheiten von Untergruppen. So kann damit zum Beispiel die Ungleichverteilung in Deutschland aus den Ungleichverteilungen in den Ländern berechnet werden.

Wenn die Bevölkerung in <math>m</math> Untergruppen aufgeteilt werden kann und <math>s_k</math> der Einkommensanteil einer Untergruppe <math>k</math> am Gesamteinkommen ist, dann beschreibt <math>T_k</math> die Ungleichverteilung in der Untergruppe und <math>\overline{x}_k</math> ist das durchschnittliche Einkommen der Untergruppe <math>k</math>. Der Theil-Index <math>T_k</math> ist dann

<math>

T = \sum_{k=1}^m s_k T_k + \sum_{k=1}^m s_k \ln{\frac{\overline{x}_k}{\overline{x}}} </math>.

So beschrieben, ist der Theil-Index <math>T_k</math> dann der „Beitrag“ der Untergruppe zur Ungleichverteilung in der gesamten Gruppe.

Literatur

Henri Theil: The Information Approach to Demand Analysis. In: Econometrica. Vol. 33, Nr. 1, Januar 1965, {{#invoke:URIutil|{{#ifeq:1|1|linkISSN|targetISSN}}|0012-9682|0}}{{#ifeq:1|0|[!]

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Weblinks

Pedro Conceição, Pedro Ferreira: The Young Person’s Guide to the Theil Index: Suggesting Intuitive Interpretations and Exploring Analytical Applications. (PDF; 1,4 MB). UTIP Working Paper Number 14, Februar 2000.
University of Texas Inequality Project. Tutorials mit Schwerpunkt auf dem Theil Index (englisch).

Einzelnachweise