Tensorprodukt für Von-Neumann-Algebren

In der mathematischen Theorie der Von-Neumann-Algebren kann man ein Tensorprodukt definieren, mit dem man aus zwei Von-Neumann-Algebren eine dritte erhält. Da Von-Neumann-Algebren auf Hilberträumen operieren und dort gewisse Abschlusseigenschaften haben müssen, reicht die Bildung des algebraischen Tensorproduktes nicht aus; man verwendet daher die in diesem Artikel beschriebene Konstruktion.

Konstruktion

Es seien <math>\mathcal{A}\subset L(H)</math> und <math>\mathcal{B}\subset L(K)</math> zwei Von-Neumann-Algebren auf den Hilberträumen <math>H</math> und <math>K</math>. Zwei Operatoren <math>A\in \mathcal{A}</math> und <math>B\in \mathcal{B}</math> definieren einen stetigen linearen Operator <math>A\otimes B</math> auf dem Hilbertraum-Tensorprodukt <math>H\otimes K</math>, und es gilt sogar <math>\|A\otimes B\| = \|A\|\cdot \|B\|</math> (siehe Artikel Hilbertraum-Tensorprodukt). Die von allen Operatoren der Form <math>A\otimes B</math> mit <math>A\in \mathcal{A}</math> und <math>B\in \mathcal{B}</math> in <math>L(H\otimes K)</math> erzeugte Von-Neumann-Algebra, das heißt der Abschluss der Menge aller endlichen Summen solcher Operatoren bezüglich der schwachen Operatortopologie, heißt das Tensorprodukt aus <math>\mathcal{A}</math> und <math>\mathcal{B}</math> und wird mit <math>\mathcal{A}\overline{\otimes} \mathcal{B}</math> bezeichnet, wobei der Querstrich über dem Tensorproduktzeichen an die Abschlussoperation erinnern soll.<ref>R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-12-393302-1, § 11.2: Tensor products of von Neumann algebras</ref><ref>Jacques Dixmier: Von Neumann algebras. North-Holland, Amsterdam 1981, ISBN 0-444-86308-7, I.2.4: Tensor products of von Neumann algebras</ref>

Der Kommutantensatz

Sind <math>\mathcal{A}\subset L(H)</math> und <math>\mathcal{B}\subset L(K)</math> zwei Von-Neumann-Algebren, <math>A\in \mathcal{A}</math> und <math>B\in \mathcal{B}</math> sowie <math>A^'</math> und <math>B^'</math> aus den Kommutanten <math>\mathcal{A}^'\subset L(H)</math> bzw. <math>\mathcal{B}^'\subset L(K)</math>, so ist klar, dass <math>A\otimes B</math> und <math>A^'\otimes B^'</math> in <math>L(H\otimes K)</math> vertauschen, denn <math>(A\otimes B)(A^'\otimes B^') = AA^'\otimes BB^' = A^'A\otimes B^'B = (A^'\otimes B^')(A\otimes B)</math>. Daraus ergibt sich sofort <math>\mathcal{A}^' \overline{\otimes} \mathcal{B}^' \subset (\mathcal{A} \overline{\otimes} \mathcal{B})^' </math>. Der Kommutantensatz sagt aus, dass hier sogar Gleichheit gilt<ref>R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-12-393302-1, Theorem 11.2.16</ref>:

Sind <math>\mathcal{A}\subset L(H)</math> und <math>\mathcal{B}\subset L(K)</math> zwei Von-Neumann-Algebren, so gilt <math>\mathcal{A}^' \overline{\otimes} \mathcal{B}^' = (\mathcal{A} \overline{\otimes} \mathcal{B})^' </math>.

Eine einfache Konsequenz ist <math>L(H)\overline{\otimes}L(K) = L(H\otimes K)</math>, was sich aber auch ohne Kommutantensatz leicht beweisen lässt.

Der Kommutantensatz kann auch benutzt werden, um zu zeigen, dass das Zentrum eines Tensorproduktes von Von-Neumann-Algebren gleich dem Tensorprodukt der Zentren ist. Insbesondere ist das Tensorprodukt von Faktoren wieder ein Faktor.<ref>Jacques Dixmier: Von Neumann algebras. North-Holland, Amsterdam 1981, ISBN 0-444-86308-7, I.6.9: Tensor products of von Neumann algebras</ref>

Typ des Tensorprodukts

Haben die Von-Neumann-Algebren <math>\mathcal{A}</math> und <math>\mathcal{B}</math> einen reinen Typ, so auch deren Tensorprodukt, und der Typ kann folgender Tabelle entnommen werden<ref>R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-12-393302-1, Tabelle 11.1</ref>:

<math>\overline{\otimes}</math>	<math>I_n,\, n</math> endlich	<math>I_n,\, n</math> unendlich	<math>\quad\,II_1\quad</math>	<math>\quad II_\infty\quad</math>	<math>\quad III\quad</math>
<math>I_m,\, m</math> endlich	<math>I_{mn}\,</math>	<math>I_{mn}\,</math>	<math>II_1\,</math>	<math>II_\infty</math>	<math>III\,</math>
<math>I_m,\, m</math> unendlich	<math>I_{mn}\,</math>	<math>I_{mn}\,</math>	<math>II_\infty</math>	<math>II_\infty</math>	<math>III\,</math>
<math>II_1</math>	<math>\quad\,II_1\quad</math>	<math>II_\infty</math>	<math>II_1\,</math>	<math>II_\infty</math>	<math>III\,</math>
<math>II_\infty</math>	<math>\quad II_\infty\quad</math>	<math>II_\infty</math>	<math>II_\infty</math>	<math>II_\infty</math>	<math>III\,</math>
<math>III\,</math>	<math>III\,</math>	<math>III\,</math>	<math>III\,</math>	<math>III\,</math>	<math>III\,</math>

Im Allgemeinen hat eine Von-Neumann-Algebra keinen reinen Typ, sondern ist nach dem Satz von der Typzerlegung eine endliche direkte Summe von Von-Neumann-Algebren der Typen <math>I_n, II_1, II_\infty</math> bzw. <math>III\,</math>. Damit kann obige Tabelle zur Typbestimmung der Bestandteile des Tensorproduktes <math>\mathcal{A} \overline{\otimes} \mathcal{B}</math> herangezogen werden.

Siehe auch

Eine ganz ähnliche Konstruktion führt in der Theorie der C*-Algebren zum sogenannten räumlichen Tensorprodukt.

Einzelnachweise