Telegraphengleichung
{{#if: befasst sich mit der Telegraphengleichung der Elektrodynamik. Die (speziellere) Telegraphengleichung für die Ausbreitung von Strom und Spannung auf einer Leitung wird unter Leitungsgleichung behandelt.
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Die Telegraphengleichung ist eine allgemeine Form der Wellengleichung. Sie ist eine partielle Differentialgleichung 2. Ordnung.
Allgemeines
Die Telegraphengleichung ist eine partielle Differentialgleichung (bei <math>a > 0</math> hyperbolisch, bei <math>a < 0</math> elliptisch und bei <math>a = 0</math> parabolisch) und lautet in der allgemeinen Form:
- <math>\Delta \vec F = a \cdot \frac{\partial^2 \vec F}{\partial t^2}+b \cdot \frac{\partial \vec F}{\partial t} + c \cdot \frac{\partial \vec F}{\partial x}+d \cdot \vec F</math>.
Dabei ist <math>\Delta \vec F</math> der Laplace-Operator, in einer Orts-Dimension also <math>\Delta \vec F = \frac{\partial^2 \vec F}{\partial x^2}</math>. Die Ableitung nach <math>x</math> steht hier stellvertretend für die Ableitung nach Ortskoordinaten. Statt eines Vektors kann auch ein Skalar <math>F</math> stehen.
In dieser Form ist sie eine Gleichung, die viele andere lineare partielle Differentialgleichungen der Physik als Spezialfälle enthält (Wellengleichung, Diffusionsgleichung, Helmholtz-Gleichung, Potentialgleichung).
Telegraphengleichung mit a>0, b>0; c=d=0
Die Gleichungen sind allgemein vom Typ:
- <math> \Delta \vec F = a \frac {\partial^2 \vec F} {\partial t^2} + b \frac {\partial \vec F} {\partial t}</math>
Der Vorfaktor <math>a</math> hat die Dimension eines inversen Geschwindigkeitsquadrats.
Zum Beispiel kann man mit den Materialgleichungen der Elektrodynamik die Maxwellgleichungen in ladungsfreien Raumgebieten umschreiben zu
- <math> \Delta \vec E = \frac{ \mu \varepsilon}{c^2} \frac{ \partial ^2 \vec E}{\partial t^2} + \sigma \mu_0 \mu \frac{\partial \vec E}{\partial t} </math>
und
- <math> \Delta \vec H = \frac{ \mu \varepsilon}{c^2} \frac{ \partial ^2 \vec H}{\partial t^2} + \sigma \mu_0 \mu\frac{\partial \vec H}{\partial t} </math>.
wobei <math>c^2=\frac {1}{\mu_0 \, \varepsilon_0}</math> (c der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum) benutzt wurde.
Das sind Wellengleichungen für ein verlustbehaftetes Dielektrikum. Im Fall eines Isolators ist <math> \sigma = 0 </math> und die Maxwellgleichungen reduzieren sich zur (vektoriellen) Wellengleichung.
Telegraphengleichung mit a>0; b=c=d=0
Die Gleichungen sind allgemein vom Typ der Wellengleichung:
- <math> \Delta F = a \frac {\partial^2 F} {\partial t^2}</math>
Insbesondere erhält man die ursprünglich von Oliver Heaviside eingeführten Telegraphengleichungen für die Spannung <math>U</math> und dem Strom <math>I</math> in einer Doppelleitung mit Induktivität <math>L</math> und Kapazität <math>C</math> (Auf die Länge bezogen und im Allgemeinen ortsabhängig):
- <math> \frac {\partial^2 U} {\partial x^2} = L\,C \frac {\partial^2 U} {\partial t^2}</math>
bzw.
- <math> \frac {\partial^2 I} {\partial x^2} = L\,C \frac {\partial ^2 I} {\partial t^2}</math>
wobei Leitungsverluste vernachlässigt wurden. Da <math>a= L\,C </math> breitet sich die Welle mit der Geschwindigkeit <math>\frac {1}{\sqrt {(L \, C)}}</math> aus.
Ein weiteres Beispiel sind die oben angegebenen Wellengleichungen des elektromagnetischen Feldes im Fall keiner Verluste (<math> \sigma = 0 </math> wie im freien Raum).
Literatur
- Adolf J. Schwab: Begriffswelt der Feldtheorie. Praxisnahe, anschauliche Einführung. Elektromagnetische Felder, Maxwellsche Gleichungen, Gradient, Rotation, Divergenz, Finite Elemente, Finite Differenzen, Ersatzladungsverfahren, Boundary-Element-Methode, Momentenmethode, Monte-Carlo-Verfahren. 6. unveränderte Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2002, ISBN 3-540-42018-5.