Teilersumme

Unter der Teilersumme einer natürlichen Zahl versteht man die Summe aller positiven Teiler dieser Zahl einschließlich der Zahl selbst.<ref name=":0">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Beispiel:

Die Zahl 6 hat die Teiler 1, 2, 3 und 6. Die Teilersumme von 6 lautet also <math>1+2+3+6 = 12</math>.

Bei vielen Problemstellungen der Zahlentheorie spielen Teilersummen eine Rolle, z. B. bei den vollkommenen Zahlen und den befreundeten Zahlen.

Definitionen

Definition 1: Summe aller Teiler

Sind <math>t_1, t_2, ..., t_k</math> alle Teiler der natürlichen Zahl <math>n</math>, so nennt man <math>\sigma(n) = t_1+t_2+\dotsb+t_k</math> die Teilersumme von <math>n</math>. Dabei sind 1 und <math>n</math> selbst Teiler, also in der Menge der Teiler enthalten. Die Funktion <math>n \mapsto \sigma(n)</math> heißt Teilersummenfunktion und ist eine zahlentheoretische Funktion.

Das Beispiel oben kann man nun so schreiben:

<math>\sigma(6) = 1 + 2 + 3 + 6 = 12</math>.

Definition 2: Summe der echten Teiler

Die Summe <math>\sigma^*(n)</math> der echten Teiler der natürlichen Zahl <math>n</math> ist die Summe der Teiler von <math>n</math> ohne die Zahl <math>n</math> selbst.

Beispiel:

<math>\sigma^*(6) = 1+2+3 = 6</math>.

Es gilt die Beziehung

<math>\sigma(n)-n = \sigma^*(n)</math>.

Definition 3: defizient, abundant, vollkommen

Eine natürliche Zahl <math>n > 1</math> heißt

defizient oder teilerarm, wenn <math>\sigma^*(n) < n</math>,

abundant oder teilerreich, wenn <math>\sigma^*(n) > n</math>,

vollkommen, wenn <math>\sigma^*(n) = n</math>.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Beispiele:

<math>\sigma^*(6) = 1+2+3=6</math>, d. h. 6 ist eine vollkommene Zahl.

<math>\sigma^*(12) = 1+2+3+4+6 = 16 > 12</math>, d. h. 12 ist abundant.

<math>\sigma^*(10) = 1+2+5 = 8 < 10</math>, d. h. 10 ist defizient.

Eigenschaften der Teilersumme

Satz 1: Teilersumme einer Primzahl

Für jede Primzahl <math>p</math> gilt

<math>\sigma(p) = p + 1</math>.

Beweis: Per Definition hat <math>p</math> nur die Teiler <math>1</math> und <math>p</math>. Daraus folgt die Behauptung.

Satz 2: Teilersumme der Potenz einer Primzahl

Sei <math>p</math> eine Primzahl und <math>k \in \N_0</math>. Dann gilt für die Potenz <math>p^k</math>:

<math>\sigma(p^k) = \sum_{j = 0}^k p^j = \frac{p^{k+1}-1}{p-1}</math>.

Beweis: Da <math>p</math> eine Primzahl ist, hat <math>p^k</math> nur die Teiler <math>p^0,p^1,\ldots,p^k</math>. Diese Zahlen bilden eine geometrische Folge. Aus der Formel für die Partialsummen der geometrischen Reihe folgt sofort die Behauptung.

Beispiel:

<math>\sigma(2^3) = {{2^4-1} \over {2-1}} = {{16-1} \over 1} = 15</math>

<math>\sigma(8) = 1+2+4+8 = 15</math>

Satz 3: Teilersumme des Produktes von zwei Primzahlen

Seien <math>a</math> und <math>b</math> verschiedene Primzahlen. Dann gilt

<math>\sigma(a\cdot b) = \sigma(a) \cdot \sigma(b)</math>.

Beweis: Die Zahl <math>ab</math> besitzt genau die Teiler <math>1, a, b</math> und <math>ab</math>. Daraus folgt

<math>\sigma(a \cdot b) = 1 + a + b + ab = (a+1)(b+1) = \sigma(a) \cdot \sigma(b)</math>.

Beispiel:

<math>\sigma(3 \cdot 5) = \sigma(15) = 1+3+5+15 = 24</math>

<math>\sigma(3) \cdot \sigma(5) = (1+3) \cdot (1+5) = 4 \cdot 6 = 24</math>

Satz 4: Teilersumme des Produkts von zwei teilerfremden Zahlen

Sind <math>a</math> und <math>b</math> teilerfremde Zahlen, so gilt

<math>\sigma(a\cdot b) = \sigma(a) \cdot \sigma(b)</math>.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Die Teilersummenfunktion ist also multiplikativ.

Beispiel:

<math>\sigma(4 \cdot 9) = \sigma(36) = 1+2+3+4+6+9+12+18+36 = 91</math>

<math>\sigma(4) \cdot \sigma(9) = (1+2+4) \cdot (1+3+9) = 7 \cdot 13 = 91</math>

Satz 5: Teilersumme einer in Primfaktoren zerlegten Zahl

Sei <math>n \in \mathbb{N}</math> mit der Primfaktorzerlegung <math>n = p_1^{k_1} \cdot p_2^{k_2} \cdot\ldots\cdot p_r^{k_r}</math>. Dann gilt

<math>

\sigma(n) = \frac{p_1^{k_1+1}-1}{p_1-1} \cdot\ldots\cdot \frac{p_r^{k_r+1}-1}{p_r-1} </math>.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Beispiel:

<math>\sigma(84) = \sigma(2^2\cdot 3\cdot 7) = \frac{2^3-1}{2-1}\cdot \frac{3^2-1}{3-1}\cdot \frac{7^2-1}{7-1} = 7 \cdot 4 \cdot 8 = 224.</math>

Satz von Thabit

Mit Hilfe von Satz 4 kann man den Satz von Thabit (benannt nach Thabit ibn Qurra) aus dem Gebiet der befreundeten Zahlen beweisen. Der Satz lautet:

Für eine natürliche Zahl <math>n</math> seien <math>x = 3\cdot 2^n-1, y = 3\cdot 2^{n-1}-1</math> und <math>z = 9\cdot 2^{2n-1}-1</math>.

Wenn <math>x</math>, <math>y</math> und <math>z</math> Primzahlen größer als 2 sind, dann sind die beiden Zahlen <math>a=2^nxy</math> und <math>b=2^nz</math> befreundet, d. h. <math>\sigma^*(a) = b</math> und <math>\sigma^*(b) = a</math>.

Beweis: <math>\begin{align}

\sigma^*(a) &= \sigma(a)-a \\ &= \sigma(2^n \cdot x \cdot y) -a \\ &= (2^{n+1}-1)(x+1)(y+1) -a \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad && \text{(Satz 4)} \\ &= (2^{n+1}-1)(3 \cdot 2^n)(3\cdot 2^{n-1}) -2^n(3\cdot 2^n-1)(3\cdot 2^{n-1}-1) \\ &= (2^{n+1}-1) \cdot 9 \cdot 2^{2n-1} -2^n(9\cdot 2^{2n-1} -6\cdot 2^{n-1} -3\cdot 2^{n-1} +1) \\ &= 2\cdot 2^n \cdot 9 \cdot 2^{2n-1} -9\cdot 2^n \cdot 2^{n-1} -2^n(9\cdot 2^{2n-1} -9\cdot 2^{n-1} +1) \\ &= 2^n (18 \cdot 2^{2n-1} -9\cdot 2^{n-1} -9\cdot 2^{2n-1} +9\cdot 2^{n-1} -1) \\ &= 2^n (9\cdot 2^{2n-1} -1) \\ &= 2^n \cdot z \\ &= b \end{align}</math>

Analog zeigt man <math>\sigma^*(b) = a</math>.

Teilersumme als endliche Reihe

Für jede natürliche Zahl <math>n</math> kann die Teilerfunktion als Reihe dargestellt werden, ohne dass auf die Teilbarkeitseigenschaften von <math>n</math> explizit Bezug genommen wird:

<math>\sigma(n) =\sum_{\mu=1}^n\sum_{\nu=1}^\mu \cos{2\pi\frac{\nu n}{\mu}}</math>

Beweis: Die Funktion

wird 1, wenn <math>\mu</math> ein Teiler von <math>n</math> ist, ansonsten bleibt sie Null.

Sei nämlich <math>\mu</math> ein Teiler von <math>n</math>. Dann ist der Quotient <math>\frac{\nu n}{\mu}</math> ganzzahlig, somit ist <math>\cos{2\pi\frac{\nu n}{\mu}}</math> gleich 1. Die Summation über <math>\nu</math> ergibt <math>\mu</math>, woraus <math>T(n,\mu)=1</math> folgt.

Sei nun <math>\mu</math> kein Teiler von <math>n</math>. Es gilt dann

<math>T(n,\mu) = \frac{1}{\mu}\sum_{\nu=1}^\mu\cos 2\pi \frac{\nu n}{\mu} =

 \frac{1}{\mu}\frac{\sin\pi n \cos \frac{\pi(\mu+1)n}{\mu}}{\sin\frac{\pi n}{\mu}}

=0.</math> Damit ist gezeigt, dass <math>T(n,\mu)</math> genau dann gleich 1 ist, wenn <math>\mu</math> ein Teiler von <math>n</math> ist, und ansonsten verschwindet.

Multipliziert man jetzt <math>T(n,\mu)</math> mit <math>\mu^k</math> und summiert das Produkt über alle Werte <math>\mu=1</math> bis <math>\mu=n</math>, so entsteht nur dann ein Beitrag <math>\mu^k</math> zur Summe, wenn <math>\mu</math> ein Teiler von <math>n</math> ist. Das ist aber genau die Definition der allgemeinen Teilerfunktion

<math>

\sigma_k(n) =\sum_{\mu=1}^n\mu^{k-1}\sum_{\nu=1}^\mu \cos{2\pi\frac{\nu n}{\mu}},\quad k=0,\pm 1,\dots </math>

deren Spezialfall <math>k=1</math> die einfache Teilersumme <math>\sigma(n)</math> ist.

Siehe auch

Literatur

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Einzelnachweise