Symmetrisches Lanczos-Verfahren

In der numerischen Mathematik ist das symmetrische Lanczos-Verfahren ein Verfahren zur Lösung von Eigenwertproblemen für symmetrische oder hermitesche Matrizen. Es stellt sowohl einen Spezialfall des unsymmetrischen Lanczos-Verfahrens, als auch des Arnoldi-Verfahrens dar.

Der Algorithmus

Es sei eine hermitesche Matrix <math>A\in\mathbb{C}^{n\times n}</math> und ein beliebiger Startvektor <math>r_0\in\mathbb{C}^n</math> ungleich Null gegeben. Dann erstellt der folgende Algorithmus eine Orthonormalbasis <math>q_1,..,q_k</math> des Krylow-Unterraums <math>\mathcal{K}=\mathcal{K}(A,r_0)</math>. Diese kann dann zur Berechnung von Eigenwerten oder der Lösung linearer Gleichungssysteme eingesetzt werden.

1. Setze <math>q_0 = 0</math>
2. for <math>k=1,..,n</math> do
3. <math>\beta_{k-1} =\|r_{k-1}\|</math>
4. <math>q_k = r_{k-1}/\beta_{k-1}</math>
5. <math>r_k = Aq_k</math>
6. <math>\alpha_k =\langle q_k,r_k\rangle</math>
7. <math>r_k = r_k-\alpha_kq_k-\beta_{k-1}q_{k-1}</math>
8. end for

Literatur

• Andreas Meister, Christof Vömel: Numerik linearer Gleichungssysteme. Eine Einführung in moderne Verfahren. 2. Aufl. Vieweg, Wiesbaden 2005, ISBN 3-528-13135-7.