Surreale Zahl

Visualisierung einiger surrealer Zahlen

Die surrealen Zahlen (von frz. surréalisme „über der Wirklichkeit“), auch Conway-Zahlen genannt, bilden eine Klasse von Zahlen, die alle reellen Zahlen umfasst, sowie „unendlich große“ Zahlen, die größer sind als jede reelle Zahl. Dabei ist jede reelle Zahl von surrealen Zahlen umgeben, die ihr näher sind als jede andere reelle Zahl, insbesondere gibt es „infinitesimale“ Zahlen, die näher bei Null liegen als jede positive reelle Zahl. Darin stimmen sie mit den hyperreellen Zahlen überein, aber sie werden auf eine substanziell andere Weise konstruiert und enthalten die hyperreellen Zahlen als Teilmenge.

Surreale Zahlen wurden zuerst von John Conway vorgestellt und 1974 im Detail beschrieben in Donald E. Knuths mathematischem Roman Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness. In seinem Buch, das in Dialogform gehalten ist, prägte Knuth den Begriff surreale Zahlen für das, was Conway ursprünglich nur Zahlen nannte. Conway gefiel der neue Name, sodass er ihn später übernahm. Er beschrieb die surrealen Zahlen und nutzte sie zur Analyse von Spielen (unter anderem Go) in seinem Mathematikbuch On Numbers and Games (1976).

Motivation

Surreale Zahlen sind aus mehreren Gründen interessante Strukturen: Zum einen entstehen sie durch zwei einfache Regeln „aus dem Nichts“ und haben trotzdem ähnliche Eigenschaften wie die reellen Zahlen. Wir sind gezwungen, jede Aussage zu beweisen, die wir bei den reellen Zahlen für selbstverständlich erachten, z. B. dass <math display="inline">x\leq x</math> gilt oder dass aus <math display="inline">x=y</math> stets <math display="inline">x+z=y+z</math> folgt. Die surrealen Zahlen sind daher eine gute Möglichkeit, Methoden der abstrakten Algebra zu üben. Von Conway wurden einige Anwendungen in der Spieltheorie präsentiert (siehe unten den Abschnitt zur Spieltheorie). Schließlich bilden die surrealen Zahlen wie die hyperreellen Zahlen ein Modell der Nichtstandardanalysis, in der z. B. infinitesimale Zahlen existieren.

Konstruktion

Die Grundidee hinter der Konstruktion der surrealen Zahlen ist ähnlich den Dedekind-Schnitten. Wir erzeugen eine neue Zahl, indem wir zwei Mengen <math display="inline">L</math> und <math display="inline">R</math> von Zahlen angeben, die die neue Zahl annähern. Die Menge <math display="inline">L</math> besteht aus Zahlen, die kleiner sind als die neue Zahl, und <math display="inline">R</math> ist eine Menge von Zahlen, die größer sind als die neue Zahl. Wir schreiben eine solche Darstellung als <math display="inline">\lbrace\, L \mid R \,\rbrace</math>. An die Mengen <math display="inline">L</math> und <math display="inline">R</math> stellen wir nur die Bedingung, dass jedes Element von <math display="inline">L</math> kleiner sein soll als jedes Element von <math display="inline">R</math>. Zum Beispiel ist <math display="inline">\lbrace\, \lbrace\, 1, 2 \,\rbrace \mid \lbrace\, 5, 8 \,\rbrace \,\rbrace</math> eine gültige („wohlgeformte“) Konstruktion einer bestimmten Zahl zwischen <math display="inline">2</math> und <math display="inline">5</math>. (Welche das ist, wird später erklärt.) Es ist ausdrücklich erlaubt, dass die Mengen leer sind. Die Interpretation der Darstellung <math display="inline">\lbrace\, L \mid \empty \,\rbrace</math> ist „eine Zahl, die größer ist als jede Zahl in <math display="inline">L</math>“, und <math display="inline">\lbrace\, \empty \mid R \,\rbrace</math> ist „eine Zahl, die kleiner ist als jede Zahl in <math display="inline">R</math>“. Das Konstruktionsprinzip der surrealen Zahlen ist allerdings hochrekursiv; neben einer Konstruktionsregel brauchen wir auch eine Vergleichsregel für die rekursiv erklärte Ordnungsrelation <math display="inline">\leq</math> (kleinergleich), die für die Anwendung der Konstruktionsregel benutzt werden muss.

Konstruktions- und Vergleichsregel

Konstruktionsregel: Sind <math display="inline">L</math> und <math display="inline">R</math> zwei Mengen von surrealen Zahlen und kein Element von <math display="inline">R</math> ist kleiner oder gleich einem Element von <math display="inline">L</math>, dann ist <math display="inline">\lbrace\, L \mid R \,\rbrace</math> eine surreale Zahl. Jede surreale Zahl lässt sich auf diese Art beschreiben.

Ist eine surreale Zahl <math display="inline">x = \lbrace L_x \mid R_x \,\rbrace</math> gegeben, dann nennen wir <math display="inline">L_x</math> die linke Menge und <math display="inline">R_x</math> die rechte Menge von <math display="inline">x</math>.

Vergleichsregel: Für zwei surreale Zahlen <math display="inline">x = \lbrace\, L_x \mid R_x \,\rbrace</math> und <math display="inline">y = \lbrace\, L_y \mid R_y \,\rbrace</math> gilt <math display="inline">x\leq y</math>, falls <math display="inline">y</math> kleinergleich keinem Element von <math display="inline">L_x</math> ist und kein Element von <math display="inline">R_y</math> kleinergleich <math display="inline">x</math> ist.

Zur Vereinfachung der Notation lassen wir die Mengenklammern und die leere Menge bei linker und rechter Menge weg, wo keine Missverständnisse zu befürchten sind, d. h. wir schreiben z. B. <math display="inline">\lbrace\, a, b \mid x \,\rbrace</math> für <math display="inline">\lbrace\, \lbrace\, a, b \,\rbrace \mid \lbrace\, x \,\rbrace \,\rbrace</math> bzw. <math display="inline">\lbrace\, \mid a \,\rbrace</math> für <math display="inline">\lbrace\, \empty \mid \lbrace\, a \,\rbrace \,\rbrace</math>. Ein Objekt <math display="inline">\lbrace\, L \mid R \,\rbrace</math>, das die Kleiner-Gleich-Bedingung erfüllt, nennt man auch wohlgeformt, um es von später betrachteten Objekten ohne diese Bedingung zu unterscheiden (den sogenannten Games).

Diese beiden Regeln sind rekursiv, also brauchen wir eine Form von Induktion, um mit ihnen zu arbeiten. Ein Kandidat wäre die vollständige Induktion, aber wie wir später sehen werden, macht erst die transfinite Induktion die Sache richtig interessant, d. h., wenn man diese Regeln „mehr als endlich oft“ anwendet.

Relationen

Damit die erzeugten Objekte sinnvollerweise Zahlen genannt werden können, sollten sie eine totale Ordnung haben. Die Relation <math display="inline">\leq</math> ist jedoch nur eine totale Quasiordnung, d. h. sie ist reflexiv und transitiv, aber nicht antisymmetrisch (aus <math display="inline"> x \leq y </math> und <math display="inline"> y \leq x </math> folgt nicht notwendig, dass <math display="inline">x = y</math>). Um dem abzuhelfen, definieren wir eine Relation <math display="inline">\equiv</math> auf den surrealen Zahlen:

Es gelte <math display="inline">x \equiv y</math> genau dann, wenn <math display="inline"> x \leq y </math> und <math display="inline"> y \leq x. </math>

Dies ist eine Äquivalenzrelation, und die Äquivalenzklassen sind total geordnet. Liegen <math display="inline">x</math> und <math display="inline">y</math> in derselben Äquivalenzklasse, dann stellen sie dieselbe surreale Zahl dar. Die Äquivalenzklasse von <math display="inline">x</math> schreiben wir als <math display="inline">[x]</math>, wobei <math display="inline">x</math> ein Repräsentant der Klasse <math display="inline">[x]</math> ist. Es ist also <math display="inline">x \equiv y</math> gleichwertig zu <math display="inline">[x] = [y]</math>. Dieses Vorgehen entspricht der Konstruktion der rationalen Zahlen als Äquivalenzklassen von Brüchen ganzer Zahlen, der Konstruktion der reellen Zahlen als Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen oder der Konstruktion der hyperreellen Zahlen als Äquivalenzklassen von reellen Folgen.

Beispiele

Betrachten wir nun einige Beispiele von surrealen Zahlen. Da wir noch keine surrealen Zahlen kennen, ist die einzige Menge, die wir für <math display="inline">L</math> und <math display="inline">R</math> nehmen können, die leere Menge. Unsere erste Zahl ist also

<math>\lbrace\, \mid \,\rbrace = \lbrace\, \empty \mid \empty \,\rbrace</math>

Diese Zahl erfüllt die Konstruktionsregel, da die leere Menge kein Element enthält, das irgendeine Bedingung verletzen könnte. Wir nennen sie <math display="inline">\mathbf{0}</math> und ihre Äquivalenzklasse <math display="inline">[\mathbf{0}]</math> schreiben wir als <math display="inline">0</math>. Nach der Vergleichsregel gilt

<math>\mathbf{0} \leq \mathbf{0}</math>.

Durch Anwendung der Konstruktionsregel erhalten wir die Zahlen

<math>\lbrace\, \mathbf{0} \mid \,\rbrace, \lbrace\, \mid \mathbf{0} \,\rbrace</math> und <math>\lbrace\, \mathbf{0} \mid \mathbf{0} \,\rbrace</math>

Die letzte Zahl ist jedoch wegen <math display="inline">\mathbf{0} \leq \mathbf{0}</math> keine wohlgeformte surreale Zahl. Die bisher gefundenen Zahlen lassen sich so ordnen:

<math>\lbrace\, \mid \mathbf{0} \,\rbrace < \mathbf{0} < \lbrace\, \mathbf{0} \mid \,\rbrace</math>

Dabei bedeutet <math display="inline">x < y</math>, dass nicht <math display="inline">y \leq x</math> gilt. Wir nennen die neuen Zahlen <math display="inline">\lbrace\, \mid \mathbf{0} \,\rbrace =: \mathbf{-1}</math> und <math display="inline">\lbrace\, \mathbf{0} \mid \,\rbrace =: \mathbf{1}</math> und ihre Äquivalenzklassen <math display="inline">-1</math> und <math display="inline">1</math>. Da die Äquivalenzklassen bisher nur je ein Element enthalten, können wir diese Anordnung auch schreiben als

<math>-1 < 0 < 1</math>.

Wenden wir die Konstruktionsregel noch ein Mal auf jede mögliche Weise an, erhalten wir neben einigen ungültigen Zahlen auch die wohlgeformten surrealen Zahlen

<math>\lbrace\, \mid \mathbf{-1} \,\rbrace

\equiv \lbrace\, \mid \mathbf{-1}, \mathbf{0} \,\rbrace \equiv \lbrace\, \mid \mathbf{-1}, \mathbf{1} \,\rbrace \equiv \lbrace\, \mid \mathbf{-1}, \mathbf{0}, \mathbf{1} \,\rbrace <</math>

<math>\lbrace\, \mid \mathbf{0}, \mathbf{1} \,\rbrace

\equiv \mathbf{-1} <</math>

<math>\lbrace\, \mathbf{-1} \mid \mathbf{0} \,\rbrace

\equiv \lbrace\, \mathbf{-1} \mid \mathbf{0}, \mathbf{1} \,\rbrace <</math>

<math>\lbrace\, \mathbf{-1} \mid \,\rbrace

\equiv \lbrace\, \mid \mathbf{1} \,\rbrace \equiv \lbrace\, \mathbf{-1} \mid \mathbf{1} \,\rbrace \equiv \mathbf{0} <</math>

<math>\lbrace\, \mathbf{0} \mid \mathbf{1} \,\rbrace

\equiv \lbrace\, \mathbf{-1}, \mathbf{0} \mid \mathbf{1} \,\rbrace <</math>

<math>\lbrace\, \mathbf{-1}, \mathbf{0} \mid \,\rbrace

\equiv \mathbf{1} <</math>

<math>\lbrace\, \mathbf{1} \mid \,\rbrace

\equiv \lbrace\, \mathbf{0}, \mathbf{1} \mid \,\rbrace \equiv \lbrace\, \mathbf{-1}, \mathbf{1} \mid \,\rbrace \equiv \lbrace\, \mathbf{-1}, \mathbf{0}, \mathbf{1} \mid \,\rbrace</math>

Wir machen drei Beobachtungen:

Wir haben vier neue Äquivalenzklassen, <math display="inline">[\lbrace\, \mid \mathbf{-1} \,\rbrace]</math>, <math display="inline">[\lbrace\, \mathbf{-1} \mid \mathbf{0} \,\rbrace]</math>, <math display="inline">[\lbrace\, \mathbf{0} \mid \mathbf{1} \,\rbrace]</math> und <math display="inline">[\lbrace\, \mathbf{1} \mid\,\rbrace]</math>.
Alle Äquivalenzklassen enthalten jetzt mehr als ein Element.
Der Wert einer surrealen Zahl hängt nur vom größten Element ihrer linken Menge und vom kleinsten Element ihrer rechten Menge ab.

Die erste Beobachtung führt uns auf die Frage, wie diese neuen Äquivalenzklassen zu interpretieren sind. Da <math display="inline">\lbrace\, \mid \mathbf{-1} \,\rbrace</math> kleiner ist als <math display="inline">-1</math>, nennen wir sie <math display="inline">\mathbf{-2}</math> und ihre Äquivalenzklasse <math display="inline">-2</math>. Die Zahl <math display="inline">\lbrace\, \mathbf{1} \mid \,\rbrace</math> nennen wir <math display="inline">\mathbf{2}</math>, <math display="inline">\lbrace\, \mathbf{-1} \mid \mathbf{0} \,\rbrace</math> liegt zwischen <math display="inline">-1</math> und <math display="inline">0</math> und wir nennen sie <math display="inline">\mathbf{-\frac{1}{2}}</math>, und <math>\lbrace\, \mathbf{0} \mid \mathbf{1} \,\rbrace</math> nennen wir <math display="inline">\mathbf{\frac{1}{2}}</math>. Die Äquivalenzklassen schreiben wir als <math display="inline">-2</math>, <math display="inline">2</math>, <math display="inline">-\frac{1}{2}</math> und <math display="inline">\frac{1}{2}</math>. Eine weitere Begründung für diese Bezeichnungen erhalten wir, wenn wir die Addition und Multiplikation definiert haben.

Die zweite Beobachtung führt uns zur Frage, ob wir immer noch eine surreale Zahl mit ihrer Äquivalenzklasse identifizieren können. Die Antwort ist positiv, denn man kann zeigen:

Wenn <math display="inline">[L_x] = [L_y]</math> und <math display="inline">[R_x] = [R_y]</math>, dann <math display="inline">[\lbrace\, L_x \mid R_x \,\rbrace] = [\lbrace\, L_y \mid R_y \,\rbrace]</math>.

Dabei ist <math display="inline">[X] = \lbrace\, [x]\colon x \in X \,\rbrace</math> die Menge der Äquivalenzklassen von Elementen von <math display="inline">X</math>. So können wir die Auflistung von oben umschreiben zu

<math>\lbrace\, \mid -1 \,\rbrace

= \lbrace\, \mid -1, 0 \,\rbrace = \lbrace\, \mid -1, 1 \,\rbrace = \lbrace\, \mid -1, 0, 1 \,\rbrace =: -2 <</math>

<math>\lbrace\, \mid 0, 1 \,\rbrace

= -1 <</math>

<math>\lbrace\, -1 \mid 0 \,\rbrace

= \lbrace\, -1 \mid 0, 1 \,\rbrace =: -\textstyle\frac{1}{2}\displaystyle <</math>

<math>\lbrace\, -1 \mid \,\rbrace

= \lbrace\, \mid 1 \,\rbrace = \lbrace\, -1 \mid 1 \,\rbrace = 0 <</math>

<math>\lbrace\, 0 \mid 1 \,\rbrace

= \lbrace\, -1, 0 \mid 1 \,\rbrace =: \textstyle\frac{1}{2}\displaystyle <</math>

<math>\lbrace\, -1, 0 \mid \,\rbrace

= 1 <</math>

<math>\lbrace\, 1 \mid \,\rbrace

= \lbrace\, 0, 1 \mid \,\rbrace = \lbrace\, -1, 1 \mid \,\rbrace = \lbrace\, -1, 0, 1 \mid \,\rbrace =: 2</math>

oder kürzer

<math>-2 < -1 < -\textstyle\frac{1}{2}\displaystyle < 0 < \textstyle\frac{1}{2}\displaystyle < 1 < 2</math>.

Die dritte Beobachtung lässt sich auf beliebige surreale Zahlen mit endlichen linken und rechten Mengen verallgemeinern. Die oben angesprochene Zahl <math display="inline">\lbrace\, 1, 2 \mid 5, 8 \,\rbrace</math> ist also gleich <math display="inline">\lbrace\, 2 \mid 5\,\rbrace</math> und wird später noch genauer angegeben. Unendliche Mengen müssen kein größtes Element enthalten, daher gilt für Zahlen mit unendlichen Mengen nur eine abgewandelte Aussage.

Rechnen mit surrealen Zahlen

Die Addition und Multiplikation surrealer Zahlen wird über die folgenden drei Regeln definiert:

Addition: <math>x + y =

\lbrace\,

   (L_x + y)
   \cup (x + L_y)
   \mid (R_x + y)
   \cup (x + R_y)

\,\rbrace</math>

Negation: <math>-x = \lbrace\, -R_x \mid -L_x \,\rbrace</math>

Multiplikation: <math>x \cdot y =

\lbrace\,

   (L_x \cdot y + x \cdot L_y - L_x \cdot L_y)
   \cup (R_x \cdot y + x \cdot R_y - R_x \cdot R_y)
   \mid (L_x\cdot y + x\cdot R_y - L_x\cdot R_y)
   \cup (R_x \cdot y + x \cdot L_y - R_x \cdot L_y)

\,\rbrace</math>.

Hierbei benutzen wir die mengentheoretische Erweiterung der Operatoren <math>+,-,\cdot</math>, d. h. es bedeuten beispielsweise

<math>X + y = \lbrace\, x + y\colon x \in X \,\rbrace</math>,

<math>-X = \lbrace\, -x\colon x \in X \,\rbrace</math>

und

<math>X + Y = \lbrace\, x + y\colon x \in X,\, y\in Y \,\rbrace</math>.

Diese Verknüpfungen sind wohldefiniert in dem Sinne, dass die Verknüpfung von wohlgeformten surrealen Zahlen wieder eine wohlgeformte surreale Zahl ist, d. h. eine Zahl, deren linke Menge „kleiner“ als die rechte Menge ist.

Mit diesen Rechenvorschriften können wir nun feststellen, dass die bisher vergebenen Namen passen, denn es gilt zum Beispiel

<math display="inline">\mathbf{0} + \mathbf{0} = \mathbf{0}</math>, <math display="inline">\mathbf{1} + \mathbf{1} = \mathbf{2}</math>, <math display="inline">-(\mathbf{1}) = \mathbf{-1}</math> und <math display="inline">\mathbf{\frac{1}{2}} + \mathbf{\frac{1}{2}} \equiv \mathbf{1}</math>.

(Man beachte die Unterscheidung zwischen der Gleichheit „<math display="inline">=</math>“ und der Äquivalenz „<math display="inline">\equiv</math>“!)

Die Verknüpfungen lassen sich auf die Äquivalenzklassen übertragen, denn wegen

Aus <math display="inline">[x] = [x']</math> und <math display="inline">[y]=[y']</math> folgt <math display="inline">[x + y] = [x' + y']</math> und <math display="inline">[-x] = [-x']</math> und <math display="inline">[x \cdot y] = [x' \cdot y']</math>.

sind sie auch wohldefinierte Verknüpfungen der Äquivalenzklassen. Schließlich kann man zeigen, dass die Verknüpfungen der Äquivalenzklassen schöne algebraische Eigenschaften haben:

Die Äquivalenzklassen zusammen mit der Ordnung und den algebraischen Verknüpfungen erfüllen alle Eigenschaften eines geordneten Körpers, sie sind allerdings keine Menge, sondern eine echte Klasse und deshalb im Sinne seiner Definition kein geordneter Körper.

Wir unterscheiden im Folgenden nicht mehr zwischen einer surrealen Zahl und ihrer Äquivalenzklasse, nennen also die Äquivalenzklasse selbst eine surreale Zahl.

Erzeugung durch vollständige (endliche) Induktion

Bisher haben wir nicht systematisch danach geschaut, welche Zahlen wir durch die Konstruktionsregel erhalten und welche nicht. Wir beginnen mit den Zahlen, die wir in endlich vielen Schritten erreichen können. Das tun wir induktiv, indem wir Mengen <math display="inline">S_n</math> für jede natürliche Zahl <math display="inline">n</math> wie folgt definieren:

<math display="inline">S_0 = \lbrace\, 0 \,\rbrace</math>
<math display="inline">S_{i+1}</math> ist die Menge <math display="inline">S_i</math> zusammen mit allen surrealen Zahlen, die in einem Konstruktionsschritt aus Teilmengen von <math display="inline">S_i</math> erzeugt werden.

Die Menge aller surrealen Zahlen, die in irgendeinem <math display="inline">S_i</math> liegen, nennen wir <math display="inline">S_\omega</math>. Die ersten Mengen von surrealen Zahlen sind

<math>S_0 = \lbrace\, 0 \,\rbrace</math>

<math>S_1 = \lbrace\, -1 < 0 < 1 \,\rbrace</math>

<math>S_2 = \lbrace\,

   -2
   < -1
   < -\textstyle\frac{1}{2}\displaystyle
   < 0
   < \textstyle\frac{1}{2}\displaystyle
   < 1
   < 2

\,\rbrace</math>

<math>S_3 = \lbrace\,

   -3
   <
   -2
   <
   -\textstyle\frac{3}{2}\displaystyle
   < -1
   < -\textstyle\frac{3}{4}\displaystyle
   < -\textstyle\frac{1}{2}\displaystyle
   < -\textstyle\frac{1}{4}\displaystyle
   < 0
   < \textstyle\frac{1}{4}\displaystyle
   < \textstyle\frac{1}{2}\displaystyle
   < \textstyle\frac{3}{4}\displaystyle
   < 1
   < \textstyle\frac{3}{2}\displaystyle
   < 2
   < 3

\,\rbrace</math>

Wir beobachten zwei Dinge:

In jedem Schritt steigt das Maximum um <math display="inline">1</math> und sinkt das Minimum um <math display="inline">1</math>.
In jedem Schritt finden wir zwischen zwei benachbarten Zahlen eine neue Zahl.

Eine Folgerung davon ist, dass wir auf diese Weise genau alle dyadischen Brüche erzeugen können, d. h. jede rationale Zahl der Form

mit einer ganzen Zahl <math display="inline">a</math> und einer natürlichen Zahl <math display="inline">b</math> liegt in <math display="inline">S_\omega</math>. Jedoch werden wir andere Brüche wie <math display="inline">\frac{1}{3}</math>, <math display="inline">\frac{2}{3}</math>, <math display="inline">\frac{1}{5}</math>, <math display="inline">\frac{1}{6}</math> in keinem <math display="inline">S_n</math> finden, solange <math display="inline">n</math> eine natürliche Zahl ist. Was man stattdessen für <math display="inline">n</math> nehmen könnte, dazu kommen wir im nächsten Abschnitt.

„Ins Unendliche und darüber hinaus“

Da wir nun eine weitere Menge <math display="inline">S_\omega</math> von surrealen Zahlen haben, hindert uns nichts daran, die Konstruktionsregel auf sie anzuwenden und Mengen <math display="inline">S_{\omega+1}</math>, <math display="inline">S_{\omega+2}</math> usw. zu konstruieren. Die Mengen auf der linken und rechten Seite von surrealen Zahlen können jetzt unendlich groß werden.

Tatsächlich können wir mittels transfiniter Rekursion für jede Ordinalzahl <math display="inline">a</math> eine Menge <math display="inline">S_a</math> von surrealen Zahlen definieren.

Die kleinste Ordinalzahl <math display="inline">a</math>, so dass eine surreale Zahl <math display="inline">x</math> in der Menge <math display="inline">S_a</math> enthalten ist, nennen wir den Geburtstag von <math display="inline">x</math>. Zum Beispiel ist <math display="inline">0</math> der Geburtstag von <math display="inline">0</math> und <math display="inline">2</math> ist der Geburtstag von <math display="inline">\frac{1}{2}</math>.

Man kann zeigen, dass durch den Ausdruck <math display="inline">\lbrace\, \lbrace\, a \,\rbrace \mid \lbrace\, b \,\rbrace \,\rbrace</math> für surreale Zahlen <math display="inline">a < b</math> die „älteste“ surreale Zahl zwischen <math display="inline">a</math> und <math display="inline">b</math> dargestellt wird. Die oben angesprochene Zahl <math display="inline">\lbrace\, \lbrace\, 1, 2 \,\rbrace \mid \lbrace\, 5, 8 \,\rbrace \,\rbrace</math> ist gleich <math display="inline">\lbrace\, 2 \mid 5\,\rbrace</math> und die älteste Zahl zwischen <math display="inline">2</math> und <math display="inline">5</math> ist die <math display="inline">3</math>, also <math display="inline">\lbrace\, 2 \mid 5 \,\rbrace \equiv 3</math>.

Schon in <math display="inline">S_{\omega+1}</math> finden wir die Brüche, die uns in <math display="inline">S_\omega</math> noch fehlten. Zum Beispiel ist

<math>\mathbf{\frac{1}{3}} =

\left\lbrace\,

   \left\lbrace\,
       \textstyle\frac{a}{2^b}\displaystyle \in S_\omega \mid 3a < 2^b
   \,\right\rbrace
   \mid
   \left\lbrace\,
       \textstyle\frac{a}{2^b}\displaystyle \in S_\omega \mid 3a > 2^b 
   \,\right\rbrace

\,\right\rbrace</math>. Die Korrektheit dieser Definition folgt aus der Äquivalenz

<math>\mathbf{3} \cdot \left(\mathbf{\frac{1}{3}}\right) \equiv \mathbf{1}</math>.

Der Geburtstag von <math display="inline">\frac{1}{3}</math> ist <math display="inline">\omega+1</math>.

In <math display="inline">S_{\omega+1}</math> sind bereits alle reellen Zahlen enthalten. Man veranschauliche sich das mit der Tatsache, dass jede Intervallschachtelung genau eine reelle Zahl definiert und jede reelle Zahl durch Intervallschachtelungen darstellbar ist. Nun sind alle Zahlen mit der Darstellung <math display="inline">\frac{k}{2^j}</math> (<math display="inline">k,j</math> beliebige ganze Zahlen) bereits in <math display="inline">S_\omega</math> enthalten. Zudem kann man mit diesen Zahlen als Grenzen bereits für alle reellen Zahlen Intervallschachtelungen finden. Jetzt nehme man die unteren Grenzen dieser Intervallschachtelung in die linke Menge und die oberen Grenzen der Intervallschachtelung in die rechte Menge und schon hat man die gewünschte reelle Zahl als Bestandteil von <math display="inline">S_{\omega+1}</math>.

Eine andere Zahl, die in <math display="inline">S_{\omega+1}</math> liegt, ist

<math>\mathbf{\varepsilon} =

\left\lbrace\, 0 \mid

   \dots,
   \textstyle\frac{1}{16}\displaystyle,
   \textstyle\frac{1}{8}\displaystyle,
   \textstyle\frac{1}{4}\displaystyle,
   \textstyle\frac{1}{2}\displaystyle,
   1

\,\right\rbrace</math>. Man erkennt leicht, dass diese Zahl größer ist als <math display="inline">0</math>, aber kleiner als jeder positive Bruch. Es handelt sich hierbei also um eine infinitesimale Zahl. Wir bezeichnen ihre Äquivalenzklasse deshalb mit <math display="inline">\varepsilon</math>. Dies ist nicht die einzige infinitesimale Zahl, denn es gilt z. B.

<math>2\varepsilon

= \left\lbrace\, \varepsilon \mid

   \dots,
   \varepsilon + \textstyle\frac{1}{16}\displaystyle,
   \varepsilon + \textstyle\frac{1}{8}\displaystyle,
   \varepsilon + \textstyle\frac{1}{4}\displaystyle,
   \varepsilon + \textstyle\frac{1}{2}\displaystyle,
   \varepsilon + 1

\,\right\rbrace</math>,

<math>\frac{\varepsilon}{2}

= \lbrace\, 0 \mid \varepsilon \,\rbrace</math>.

Diese Zahlen liegen jedoch erst in <math display="inline">S_{\omega+2}</math>.

Neben unendlich kleinen Zahlen sind auch unendlich große Zahlen in <math display="inline">S_{\omega+1}</math> zu finden, wie z. B.

<math>\mathbf{w} = \lbrace\, S_\omega \mid \,\rbrace</math>.

Diese Zahl ist größer als jede Zahl in <math display="inline">S_\omega</math>, insbesondere größer als jede natürliche Zahl, ihre Äquivalenzklasse bezeichnen wir daher mit <math display="inline">\omega</math>. Diese Zahl entspricht der Ordinalzahl <math display="inline">\omega</math>. Es ist auch

<math>\mathbf{w} \equiv \lbrace\, 1, 2, 3, 4, \dots \mid \,\rbrace</math>.

Man kann sogar jede Ordinalzahl als surreale Zahl darstellen.

Da Addition und Subtraktion für alle surrealen Zahlen erklärt sind, können wir mit <math>\omega</math> rechnen wie mit jeder anderen Zahl und z. B. Folgendes berechnen:

<math>\omega + 1 = \lbrace\, \omega \mid \,\rbrace</math> und

<math>\omega - 1 = \lbrace\, S_\omega \mid \omega \,\rbrace</math>.

Das geht auch für größere Summanden:

<math>\omega + 2 = \lbrace\, \omega + 1 \mid \,\rbrace</math>,

<math>\omega + 3 = \lbrace\, \omega + 2 \mid \,\rbrace</math>,

<math>\omega - 2 = \lbrace\, S_\omega \mid \omega - 1 \,\rbrace</math>,

<math>\omega - 3 = \lbrace\, S_\omega \mid \omega - 2 \,\rbrace</math>

und sogar mit <math display="inline">\omega</math> selbst:

<math>\omega + \omega = \lbrace\, \omega + S_\omega \mid \,\rbrace</math>

wobei <math display="inline">x + Y = \lbrace\, x + y\colon y \in Y \,\rbrace</math> wie oben.

So wie <math display="inline">2 \cdot \omega = \omega+\omega</math> größer ist als <math display="inline">\omega</math>, ist <math display="inline">\frac{\omega}{2}</math> kleiner als <math display="inline">\omega</math>, denn

<math>\frac{\omega}{2} = \lbrace\, S_\omega \mid \omega - S_\omega \,\rbrace</math>

wobei <math display="inline">x - Y = \lbrace\, x - y \colon y \in Y\,\rbrace</math>.

Schließlich finden wir einen engen Zusammenhang zwischen <math display="inline">\omega</math> und <math display="inline">\varepsilon</math>, denn es ist

<math>\varepsilon \cdot \omega = 1</math>.

Zu beachten ist aber, dass die Rechenregeln für Ordinalzahlen sich unterscheiden von denen der surrealen Darstellungen: In den Ordinalzahlen gilt <math display="inline">1 + \omega = \omega < \omega + 1</math>, als surreale Zahl ist jedoch <math display="inline">1 + \omega = \omega + 1 > \omega</math>.

Sehr viele Zahlen können auf diese Weise erzeugt werden, sogar so viele, dass keine Menge sie alle aufnehmen kann. Die surrealen Zahlen bilden wie die Ordinalzahlen eine echte Klasse.

Da jede surreale Zahl aus surrealen Zahlen zusammengesetzt ist, die einen kleineren Geburtstag haben, kann man fast alle Aussagen über surreale Zahlen per transfiniter Induktion beweisen. Man zeigt dazu, dass eine Aussage für <math display="inline">x = \lbrace\, X_L \mid X_R \,\rbrace</math> gilt, falls sie für jedes Element von <math display="inline">X_L</math> und <math display="inline">X_R</math> gilt.

Mengentheoretische Bemerkung

Wie im Abschnitt Rechnen mit surrealen Zahlen bereits erwähnt, bilden die surrealen Zahlen eine echte Klasse, also keine Menge im Sinne einer üblichen Mengenlehre wie der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre. Der Grund ist, dass jede Ordinalzahl als surreale Zahl darstellbar ist und die Ordinalzahlen bereits eine echte Klasse bilden. Die Definition einer Surrealzahl als Paar von Linksmenge und Rechtsmenge von Surrealzahlen schließt aus, dass auch eine dieser Mengen eine echte Klasse sein könnte, da Mengen keine echten Klassen sein können.

Verallgemeinerung: Games

Die Definition einer surrealen Zahl enthielt eine Einschränkung: Jedes Element von <math display="inline">L</math> muss kleiner sein als jedes Element von <math display="inline">R</math>. Wenn man diese Einschränkung fallen lässt, erhält man eine größere Klasse von Objekten, die Games (engl. für Spiele) genannt werden. Ein Game entsteht durch Anwendung dieser Regel:

Konstruktionsregel: Sind <math display="inline">L</math> und <math display="inline">R</math> zwei Mengen von Games, dann ist <math display="inline">\lbrace\, L \mid R \,\rbrace</math> ein Game.

Vergleich, Äquivalenz, Addition, Negation und Multiplikation werden genauso wie für surreale Zahlen definiert.

Jede surreale Zahl ist ein Game, aber es gibt auch nicht wohlgeformte Games, wie z. B. <math display="inline">\lbrace\, \mathbf{0} \mid \mathbf{0} \,\rbrace</math>. Die Klasse der Games ist allgemeiner als die der surrealen Zahlen und hat eine einfachere Definition, jedoch fehlen ihr einige der schönen Eigenschaften der surrealen Zahlen. Die Games bilden keinen Körper. Sie haben nur eine partielle Ordnung, d. h. es gibt Games, die nicht vergleichbar sind. Jede surreale Zahl ist entweder größer, gleich oder kleiner als <math display="inline">0</math>, aber ein Game ist entweder größer, gleich, kleiner als <math display="inline">0</math> oder unvergleichbar mit <math display="inline">0</math> (engl. fuzzy). Sind <math display="inline">x</math>, <math display="inline">y</math>, <math display="inline">z</math> surreale Zahlen und <math display="inline">x \equiv y</math>, dann ist <math display="inline">x \cdot z \equiv y \cdot z</math>. Sind <math display="inline">x</math>, <math display="inline">y</math>, <math display="inline">z</math> dagegen Games mit <math display="inline">x \equiv y</math>, dann gilt nicht immer <math display="inline">x \cdot z \equiv y \cdot z</math>.

Surreale Zahlen und Spieltheorie

Die surrealen Zahlen wurden ursprünglich motiviert durch das Studium des Spiels Go, und es gibt viele Verbindungen zwischen bekannten Spielen und surrealen Zahlen.

Wir betrachten Spiele mit folgenden Eigenschaften:

Zwei Spieler, genannt Links und Rechts
Deterministisch (kein Würfel oder gemischte Karten)
Keine versteckte Information (wie z. B. verdeckte Spielkarten)
Die Spieler ziehen abwechselnd.
Jede Partie endet nach endlich vielen Zügen mit dem Sieg eines Spielers.
Kann ein Spieler keinen Zug mehr machen, endet das Spiel und dieser Spieler verliert (möglicherweise endet das Spiel beim Schach unentschieden).

Solche Spiele sind Schach, Dame, Mühle und Go, jedoch nicht die meisten Kartenspiele, Memory oder „Mensch ärgere dich nicht“.

Bei den meisten Spielen hat anfangs keiner der Spieler einen großen Vorteil. Schreitet die Partie jedoch voran, dann treten irgendwann Situationen auf, in denen einer der Spieler einen klaren Vorteil hat. Um ein Spiel zu analysieren, ordnet man nun jeder möglichen Spielsituation ein Game zu. Der Wert einer Spielposition ist das Game <math display="inline">\lbrace\, L \mid R \,\rbrace</math>, wobei <math display="inline">L</math> die Werte aller Positionen enthält, die durch einen Zug von Links erreicht werden können, und <math display="inline">R</math> die Werte aller Positionen, die durch einen Zug von Rechts erreicht werden können. Diese einfache Art, Games mit Spielpositionen zu verknüpfen, liefert interessante Resultate. Nehmen wir an, zwei perfekte Spieler befinden sich in einer Spielsituation, deren Game <math display="inline">x</math> ist. Dann steht der Gewinner der Partie fest:

Ist <math display="inline">x > 0</math>, dann gewinnt Links,
ist <math display="inline">x < 0</math>, dann gewinnt Rechts,
ist <math display="inline">x = 0</math>, dann verliert der Spieler, der am Zug ist,
ist <math display="inline">x</math> fuzzy, dann gewinnt der Spieler, der am Zug ist.

Manchmal, wenn eine Partie sich dem Ende nähert, zerfällt sie in kleinere Teilpartien, die völlig unabhängig sind. Beim Spiel Go zum Beispiel wird das Spielbrett nach und nach unter den Parteien aufgeteilt, bis nur noch kleine, getrennte Inseln von neutralem Raum verbleiben, in dem die Spieler setzen können. Jede Insel verhält sich wie eine eigene Go-Partie auf einem sehr kleinen Brett. Es wäre nun nützlich, jede Teilpartie einzeln zu analysieren und dann die Ergebnisse kombinieren zu können, um so eine Analyse der gesamten Partie zu bekommen. Das ist keine leichte Aufgabe. Zum Beispiel könnte man zwei Teilpartien haben, in denen jeweils der Anziehende gewinnt, aber betrachtet man beide Partien zusammen, gewinnt der andere Spieler. Jedoch gibt es einen Weg, diese Analyse durchzuführen, und zwar durch das folgende Theorem:

Wenn eine große Partie in zwei kleinere, unabhängige Partien zerfällt und die beiden Partien die Games <math display="inline">x</math> und <math display="inline">y</math> haben, dann hat die große Partie das Game <math display="inline">x+y</math>.

Mit anderen Worten: Mehrere unabhängige Partien zusammenzufassen entspricht der Addition ihrer Games.

Geschichtliche Entwicklung

Conway entwickelte die Theorie der surrealen Zahlen in der umgekehrten Reihenfolge zur hier gewählten Darstellung. Er analysierte Endspiele beim Go und suchte nach einem Weg, die Analysen von unabhängigen Teilpartien zu kombinieren. So entwickelte er das auch als Kombinatorische Spieltheorie bezeichnete Konzept der Games mit den Möglichkeiten der Addition, Negation und eines Größenvergleichs. Schließlich bemerkte er, dass eine bestimmte Klasse von Games (die später surreale Zahlen genannt wurden) interessante Eigenschaften hat und fand für sie eine Multiplikation, die die Körperaxiome erfüllt und mit der sie die reellen Zahlen enthalten.

Weblinks

Eine einfach gehaltene, aber trotzdem gründliche Einführung von Claus Tøndering (englisch)
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