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Superperfekte Zahl

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

Eine natürliche Zahl n wird als superperfekte Zahl bezeichnet, wenn die Summe der Teiler der Summe ihrer Teiler doppelt so groß ist wie die ursprüngliche Zahl n. Verwendet man <math>\sigma\,</math> als Notation für die Teilersummenfunktion, so kann man die Definition wie folgt aufschreiben:

n ist eine superperfekte Zahl genau dann, wenn <math>\sigma(\sigma(n))=2n.\,</math>

Die bekannteren vollkommenen Zahlen erfüllen dagegen die Gleichung <math>\sigma(n)=2n.\,</math> Die Frage, ob eine Zahl superperfekt ist, stellt sich bei der Untersuchung der iterierten Teilersummenfunktion (siehe auch Inhaltskette; hier wird jedoch die Abbildung <math>n \mapsto \sigma(n) - n</math> iteriert).

Beispiele und Eigenschaften

Die Zahl 6 hat die Teiler 1, 2, 3 und 6. Die Summe dieser Zahlen ist 12. Die Teiler von 12 wiederum sind 1, 2, 3, 4, 6 und 12, deren Summe 28 ist. Wegen 28 ≠ 2·6 ist 6 keine superperfekte Zahl. Weitere Rechenbeispiele sind:

Zahl <math>n</math> <math>\sigma(n)</math> <math>\sigma(\sigma(n))</math> <math>2n</math> Superperfekt?
<math>2</math> <math>\sigma(2) = 1 + 2 = 3</math> <math>\sigma(3) = 1 + 3 = 4</math> <math>4</math> Ja
<math>3</math> <math>\sigma(3) = 1 + 3 = 4</math> <math>\sigma(4) = 1 + 2 + 4 = 7</math> <math>6</math> Nein
<math>6</math> <math>\sigma(6) = 1 + 2 + 3 + 6 = 12</math> <math>\sigma(12) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28</math> <math>12</math> Nein
<math>8</math> <math>\sigma(8) = 1 + 2 + 4 + 8 = 15</math> <math>\sigma(15) = 1 + 3 + 5 + 15 = 24</math> <math>16</math> Nein
<math>10</math> <math>\sigma(10) = 1 + 2 + 5 + 10 = 18</math> <math>\sigma(18) = 1 + 2 + 3 + 6 + 9 + 18 = 39</math> <math>20</math> Nein
<math>16</math> <math>\sigma(16) = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31</math> <math>\sigma(31) = 1 + 31 = 32</math> <math>32</math> Ja

Die ersten superperfekten Zahlen sind 2, 4, 16, 64, 4096, 65536, 262144, … (Folge A019279 in OEIS).

Jede gerade superperfekte Zahl hat die Form <math>2^{p-1}</math>, wobei <math>2^p-1</math> eine Mersenne-Primzahl ist (Beispiel: 16 ist superperfekt und 31 eine Mersenne-Primzahl). Umgekehrt liefert jede Mersenne-Primzahl eine gerade superperfekte Zahl. Ob es ungerade superperfekte Zahlen gibt, ist nicht bekannt.

Verallgemeinerung

Superperfekte Zahlen sind – genau wie die vollkommenen Zahlen – Beispiele für Zahlen der Oberklasse von (m, k)-superperfekten Zahlen, welche wie folgt definiert sind:

n ist eine (m, k)-superperfekte Zahl genau dann, wenn <math>\sigma^m(n)=k\cdot n</math> gilt.

Vollkommene Zahlen sind somit (1,2)-superperfekt und superperfekte Zahlen (2,2)-superperfekt. Die Mathematiker G. L. Cohen und H. J. J. te Riele halten es für möglich, dass jede Zahl (m, k)-superperfekt ist für geeignete m und k.

Es folgen ein paar Beispiele für verallgemeinerte <math>(m,k)</math>-superperfekte Zahlen:

Die Zahl 21 ist eine <math>(2,3)</math>-superperfekte Zahl, weil gilt:

<math>\sigma(21) = 1 + 3 + 7 + 21 = 32</math>
<math>\sigma^m(21)=\sigma^2(21)=\sigma(\sigma(21))=\sigma(32) = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63</math>
Es ist aber auch <math>k \cdot 21 = 3 \cdot 21 = 63</math>.

Die Zahl 14 ist eine <math>(3,12)</math>-superperfekte Zahl, weil gilt:

<math>\sigma(14) = 1 + 2 + 7 + 14 = 24</math>
<math>\sigma^2(14)=\sigma(\sigma(14))=\sigma(24) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12 + 24 = 60</math>
<math>\sigma^m(14)=\sigma^3(14)=\sigma(\sigma(\sigma(14))) =\sigma(60) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 10 + 12 + 15 + 20 + 30 + 60 = 168</math>
Es ist aber auch <math>k \cdot 14 = 12 \cdot 14 = 168</math>.

Die Zahl 18 ist eine <math>(4,20)</math>-superperfekte Zahl, weil gilt:

<math>\sigma(18) = 1 + 2 + 3 + 6 + 9 + 18 = 39</math>
<math>\sigma^2(18)=\sigma(\sigma(18))=\sigma(39) = 1 + 3 + 13 + 39 = 56</math>
<math>\sigma^3(18)=\sigma(\sigma(\sigma(18)))=\sigma(56) = 1 + 2 + 4 + 7 + 8 + 14 + 28 + 56 = 120</math>
<math>\sigma^m(18)=\sigma^4(18)=\sigma(\sigma(\sigma(\sigma(18)))) =\sigma(120) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 8 + 10 + 12 + 15 + 20 + 24 + 30 + 40 + 60 + 120 = 360</math>
Es ist aber auch <math>k \cdot 18 = 20 \cdot 18 = 360</math>.

Es folgen weitere Beispiele von (m, k)-superperfekten Zahlen:

m k (m,k)-superperfekte Zahlen OEIS-Folge
2 2 2, 4, 16, 64, 4096, 65536, 262144, 1073741824, 1152921504606846976, 309485009821345068724781056, 81129638414606681695789005144064, 85070591730234615865843651857942052864 Folge A019279 in OEIS
2 3 8, 21, 512 Folge A019281 in OEIS
2 4 15, 1023, 29127, 355744082763 Folge A019282 in OEIS
2 6 42, 84, 160, 336, 1344, 86016, 550095, 1376256, 5505024, 22548578304 Folge A019283 in OEIS
2 7 24, 1536, 47360, 343976 Folge A019284 in OEIS
2 8 60, 240, 960, 4092, 16368, 58254, 61440, 65472, 116508, 466032, 710400, 983040, 1864128, 3932160, 4190208, 67043328, 119304192, 268173312, 1908867072, 7635468288, 16106127360 Folge A019285 in OEIS
2 9 168, 10752, 331520, 691200, 1556480, 1612800, 106151936, 5099962368 Folge A019286 in OEIS
2 10 480, 504, 13824, 32256, 32736, 1980342, 1396617984, 3258775296, 14763499520, 38385098752 Folge A019287 in OEIS
2 11 4404480, 57669920, 238608384 Folge A019288 in OEIS
2 12 2200380, 8801520, 14913024, 35206080, 140896000, 459818240, 775898880, 2253189120, 16785793024, 22648550400, 36051025920, 51001180160, 144204103680 Folge A019289 in OEIS
3 k 1, 12, 14, 24, 52, 98, 156, 294, 684, 910, 1368, 1440, 4480, 4788, 5460, 5840, 6882, 7616, 9114, 14592, 18288, 22848, 32704, 40880, 52416, 53760, 54864, 56448, 60960, 65472, 94860, 120960, 122640, 169164, 185535, 186368, 194432 Folge A019292 in OEIS
4 k 1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 15, 18, 21, 24, 26, 32, 39, 42, 60, 65, 72, 84, 96, 160, 182, 336, 455, 512, 896, 960, 992, 1023, 1280, 1536, 1848, 2040, 2688, 4092, 5920, 7808, 7936, 10416, 16352, 20384, 21824, 23424, 24564, 29127, 33792, 41440 Folge A019293 in OEIS

Literatur

  • D. Suryanarayana: Super perfect numbers. In: Elemente der Mathematik, 1969, 24, S. 16–17, Göttinger Digitalisierungszentrum
  • Dieter Bode: Über eine Verallgemeinerung der vollkommenen Zahlen. Dissertation, Braunschweig 1971
  • Richard K. Guy: Unsolved Problems in Number Theory. 3. Auflage. Springer, 2004, Kapitel B2 und B9, Google Books
  • G. L. Cohen, H. J. J. te Riele: Iterating the sum-of-divisors function. In: Experimental Mathematics, 1993, 5, S. 93–100, projecteuclid.org

Weblinks

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