Streng nicht-palindromische Zahl

Eine streng nicht-palindromische Zahl ist eine natürliche Zahl <math>n</math>, die in keinem Stellenwertsystem ein Zahlenpalindrom ist, dessen Basis <math>b</math> im Bereich <math>2\le b\le n-2</math> liegt.

Die obere Grenze <math>n-2</math> für die Größe der Basis ist notwendig, um die Folge nichttrivial zu halten, da

jede Zahl <math>n</math> (größer 1) zu jeder Basis <math>b>n</math> als eine einstellige (also auch palindromische) Zahl geschrieben wird;
jede Zahl <math>n</math> (größer 2) zur Basis <math>n</math> als <math>10</math>, also nicht-palindromisch geschrieben wird;
jede Zahl <math>n</math> (größer 3) zur Basis <math>n-1</math> als <math>11</math> (palindromisch) geschrieben wird.

Für <math>n\le3</math> ist die Menge an Basen leer, sodass diese Zahlen trivialerweise ebenfalls streng nicht-palindromisch sind.

Beispiele

Beispielsweise ist die (Dezimal-)Zahl 6 geschrieben

zur Basis zwei: 110,
zur Basis drei: 20 und
zur Basis vier: 12

Da keine dieser Schreibweisen palindromisch ist, ist 6 streng nicht-palindromisch.

Die Folge der streng nicht-palindromischen Zahlen beginnt mit

0, 1, 2, 3, 4, 6, 11, 19, 47, 53, 79, 103, 137, 139, 149, 163, 167, 179, 223, 263, 269, 283, 293, …<ref>Folge A016038 in OEIS</ref>

Eigenschaften

Alle streng nicht-palindromischen Zahlen größer 6 sind Primzahlen. Zu jeder zusammengesetzten Zahl <math>n>6</math> kann also eine Basis gefunden werden, zu der <math>n</math> palindromisch ist.

Beweis

Wenn <math>n</math> gerade ist, dann wird <math>n</math> zur Basis <math>\tfrac n2-1</math> als 22 (palindromisch) geschrieben.
Anderenfalls ist <math>n</math> ungerade und lässt sich als <math>n=p\cdot m</math> schreiben, wobei <math>p</math> der kleinste Primfaktor von <math>n</math> ist. Verständlicherweise ist dann <math>p\le m</math>.

Ist dann <math>p=m=3</math>, so ist <math>n=9</math>, was zur Basis 2 als 1001 (palindromisch) geschrieben wird.
Ist dann <math>p=m>3</math>, so wird <math>n</math> zur Basis <math>p-1</math> als 121 (palindromisch) geschrieben.

Anderenfalls ist <math>p<m-1</math>. Der Fall <math>p=m-1</math> kann nicht eintreten, da sowohl <math>p</math> als auch <math>m</math> ungerade sind.

In diesem Fall wird <math>n</math> als die zweistellige Zahl <math>\rm pp</math> (palindromisch) zur Basis <math>m-1</math> geschrieben.

In jedem dieser Fälle liegt die Basis <math>b</math> im Bereich <math>2\le b\le n-2</math>.

Einzelnachweise