Coulomb-Eichung

Die Coulomb-Eichung (nach ihrem Zusammenhang mit dem Coulomb-Potential (s. u.); auch Strahlungseichung oder transversale Eichung genannt) ist eine mögliche Eichung der Elektrodynamik, beschreibt also eine Einschränkung der elektrodynamischen Potentiale.

Eichfreiheit der Elektrodynamik

Um die Lösung der Maxwell-Gleichungen zu erleichtern, führt man für das elektrische Feld <math>\vec E</math> und das magnetische Feld <math>\vec B</math>, das elektrische Skalarpotential <math>\Phi</math> und das magnetische Vektorpotential <math>\vec A</math> ein, welche die klassisch beobachtbaren Felder beschreiben:

<math>\vec E = -\nabla \Phi - \partial_t \vec A</math>

<math>\vec B = \nabla \times \vec A</math>.

Diese Definition erlaubt Eichfreiheiten in der Wahl von Skalar- und Vektorpotential, die keine Auswirkungen auf messbare Größen haben, insbesondere nicht auf elektrisches Feld und magnetische Flussdichte.

Die Coulomb-Eichung

Diese Eichfreiheit wird in der Coulomb-Eichung dazu genutzt, die Divergenzfreiheit des Vektorpotentials zu fordern:

<math>\nabla \cdot\vec A = 0</math>

Wegen <math>\Delta =\nabla\cdot \nabla</math> und <math>\frac{\partial}{\partial t}\nabla =\nabla\frac{\partial}{\partial t}</math> folgen daraus die im nächsten Paragraphen notierten Resultate.

Die inhomogenen Maxwell-Gleichungen in der Coulomb-Eichung

Setzt man mit dieser Eichung die Potentiale in die inhomogenen Maxwell-Gleichungen (das gaußsche Gesetz und das erweiterte Induktionsgesetz) ein, so erhält man

<math>\Delta\Phi = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}</math>

und

<math>\Delta\vec A - \frac{1}{c^2}\partial^2_t \vec A =- \mu_0 \vec j + \frac{1}{c^2} \nabla \partial_t \Phi \,\, (=: \, -\mu_0\vec j_{\rm T})</math>.

Der Quellterm <math>\vec {j}_{\rm T}</math> wird der transversale Strom genannt, weil nach Konstruktion <math>\nabla \cdot \vec {j}_{\rm T} = 0</math> gilt. Diese Bedingung ist notwendig, damit die partielle Differentialgleichung durch Vektorpotentiale gelöst werden kann, die die Coulomb-Eichung erfüllen.

Die Lösung der ersten Gleichung ist das skalare Potential

<math>\Phi(\vec r,t) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \int\frac{\rho(\vec r^\prime,t)}{\left| \vec r - \vec r^\prime \right| }\mathrm{d}^3r^\prime</math>,

dieses ist also in dieser Eichung identisch mit dem Coulomb-Potential.

Die zweite Gleichung ist eine inhomogene Wellengleichung mit der durch die Methode des retardierten Potentials gewonnenen Lösung:

<math>\vec A(\vec r,t) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{\vec j_{\rm T}(\vec r^\prime, t')}{\left| \vec r - \vec r^\prime \right|}\mathrm{d}^3r^\prime</math>.

Dabei ist die retardierte Zeit <math>t'</math> gegeben durch <math>t' := t - \frac{|\vec r - \vec r^\prime |}c</math> . Physikalisch entspricht die zuletzt angegebene Differenz der Zeitspanne, die ein Licht- oder Radarsignal braucht, um die Strecke vom Ausgangspunkt (dem Integrationpunkt) <math>\vec r'</math> der Signale zum Ankunftspunkt <math>\vec r</math> zu durchlaufen (c ist die Lichtgeschwindigkeit).

Der Vor- oder Nachteil der Coulomb-Eichung besteht in den zwei unterschiedlichen Zeiten in den Integralen. Das skalare Potential hängt von der instantanen Ladungsverteilung (Zeitpunkt t) ab, während für das Vektorpotential der retardierte Strom (Zeitpunkt t' < t) relevant ist. Die konkurrierende Lorenz-Eichung hat diesen Nachteil nicht, sondern berücksichtigt Retardierung durchgehend. Damit ist sie auch explizit relativistisch invariant.

Sind keine Quellen (Ladungen und Ströme) vorhanden, so vereinfachen sich die Gleichungen zu

<math>\Delta\Phi = 0</math>

und

<math>\Delta \vec A - \frac{1}{c^2} \partial^2_t \vec A = 0</math>,

das Vektorpotential erfüllt also die homogene Wellengleichung.

Literatur

• {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}

{{#ifeq: s | p | | {{#if: 4311662-0 | |

}} }}{{#ifeq:||{{#if: | [[Kategorie:Wikipedia:GND fehlt {{#invoke:Str|left|{{{GNDCheck}}}|7}}]] }}{{#if: | {{#if: | | }} }} }}{{#if: | {{#ifeq: 0 | 2 | | }} }}{{#if: | {{#ifeq: 0 | 2 | | }} }}{{#ifeq: s | p | {{#if: 4311662-0 | | {{#if: {{#statements:P227}} | | }} }} }}{{#ifeq: s | p | {{#if: 4311662-0 | {{#if: {{#invoke:Wikidata|pageId}} | {{#if: {{#statements:P227}} | | }} }} }} }}{{#ifeq: s | p | {{#if: | | {{#if: {{#statements:P244}} | | }} }} }}{{#ifeq: s | p | {{#if: | {{#if: {{#invoke:Wikidata|pageId}} | {{#if: {{#statements:P244}} | | }} }} }} }}{{#ifeq: s | p | {{#if: | | {{#if: {{#statements:P214}} | | }} }} }}{{#ifeq: s | p | {{#if: | {{#if: {{#invoke:Wikidata|pageId}} | {{#if: {{#statements:P214}} | | }} }} }} }}Vorlage:Wikidata-Registrierung