Stolarsky-Mittel

In der Mathematik ist der Stolarskysche Mittelwert oder kurz das Stolarsky-Mittel ein von Kenneth B. Stolarsky<ref>Kenneth B. Stolarsky: Generalizations of the logarithmic mean. In: Mathematics Magazine, Vol. 48, No. 2, März, 1975, S. 87–92</ref> eingeführter Mittelwert, der das logarithmische Mittel verallgemeinert.

Für zwei Zahlen <math>x,y</math> und einen Parameter <math>p</math> ist das Stolarsky-Mittel definiert als

<math>S_p(x,y)\,=\,\lim_{(\xi,\eta)\to(x,y)}

\left({\frac{\xi^p-\eta^p}{p (\xi-\eta)}}\right)^{1\over p-1} \,=\, \begin{cases} x & \mbox{falls }x=y \\ \left({\frac{x^p-y^p}{p (x-y)}}\right)^{1\over p-1} & \mbox{sonst} \end{cases} </math><ref>{{#if: | {{{author}}} | Eric W. Weisstein }}: Stolarsky mean. In: MathWorld (englisch). {{#if: | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | {{{id}}} | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }}</ref><ref>Julian Havil: Gamma: Eulers Konstante, Primzahlstrände und die Riemannsche Vermutung. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-48495-0</ref>

Dabei ist der Grenzwert über alle Paare <math>(\xi,\eta)</math> mit <math>\xi \not= \eta</math> zu bilden. Im Falle <math>x=y</math> ist der Grenzwert die <math>{1\over p-1}</math>-te Potenz des Differentialquotienten der Funktion <math>x\mapsto \frac{x^p}{p}</math> und stimmt daher tatsächlich, wie angegeben, mit <math>x</math> überein.

Spezialfälle

Das Stolarsky-Mittel hat folgende Spezialfälle:

<math>S_{-\infty}(x,y)</math>	<math>\, =\text{min}\{x,y\}</math>	Minimum (Grenzwert!)
<math>\, S_{-1}(x,y)</math>	<math>=\sqrt{xy}</math>	Geometrisches Mittel
<math>\, S_0(x,y)</math>	<math>=\frac{x-y}{\log x-\log y}</math>	Logarithmisches Mittel (Grenzwert!)
<math>S_\frac12(x,y)</math>	<math>=\left(\frac{\sqrt x+\sqrt y}2\right)^2</math>	Hölder-Mittel mit 1/2
<math>\, S_1(x,y)</math>	<math>=\frac1e\left(\frac{y^y}{x^x}\right)^\frac1{y-x}</math>	{{{author}}} \| Eric W. Weisstein }}: Identric Mean. In: MathWorld (englisch). {{#if: \| {{#ifeq: {{#property:P2812}} \| {{{id}}} \| \| {{#if: {{#property:P2812}} \| {{#ifeq: 0 \| 0 \| }} \| {{#ifeq: 0 \| 0 \| }} }} }} }}</ref> (Grenzwert!)
<math>\, S_2(x,y)</math>	<math>=\frac{x+y}2</math>	Arithmetisches Mittel
<math>S_\infty (x,y)</math>	<math>=\, \text{max}\{x,y\}</math>	Maximum (Grenzwert!)

Gewichtetes Stolarsky-Mittel

Das Stolarsky-Mittel lässt sich auch gewichten:<ref>Laszlo Losonczi: Ratio of Stolarsky means: monotonicity and comparison</ref>

<math>S_{\omega_1,\omega_2}(x,y)=\left(\frac{\omega_2\cdot(x^{\omega_1}-y^{\omega_1})}{\omega_1\cdot(x^{\omega_2}-y^{\omega_2})}\right)^\frac1{\omega_1-\omega_2}</math>

Referenzen

Horst Alzer: Bestmögliche Abschätzungen für spezielle Mittelwerte. (PDF; 141 kB)
Horst Alzer: Ungleichungen für Mittelwerte. In: Archiv der Mathematik, Vol. 47 (5), November 1986, springerlink.com
Edward Neumann: Stolarski Means of Several Variables (PDF; 254 kB) In: Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, Vol. 6, 2(30), 2005.
Thomas Riedel, Prasanna K. Sahoo: A characterization of the Stolarsky mean. In: Aequationes Mathematicae, 70, Nr. 1/2, Sept. 2005, springerlink.com

Einzelnachweise