Stark stetige Gruppe

Eine stark stetige Gruppe ist eine Familie <math>(T(t))_{t\in\R}</math> von beschränkten linearen Operatoren von einem reellen oder komplexen Banachraum <math>X</math> in sich und ist ein Spezialfall einer stark stetigen Halbgruppe. Stark stetige Gruppen werden bei der Untersuchung von partiellen Differentialgleichungen angewandt, die einen reversiblen Vorgang beschreiben.

Definition

Seien <math>X</math> ein Banachraum und <math>T=(T(t))_{t\in\R}</math> eine Familie beschränkter linearer Operatoren <math>T(t):X\rightarrow X</math> für <math>t\in\R</math>. Gilt

<math>T(0)=I</math>,
<math>T(s+t)=T(s)T(t)</math> für alle <math>s,t\in\R</math> und
<math>\lim_{t\rightarrow 0}T(t)x=x</math> für alle <math>x\in X</math>,

wird diese Familie stark stetige Gruppe genannt.

Infinitesimaler Erzeuger

Der (infinitesimale) Erzeuger <math>(A,D(A))</math> ist gegeben durch

<math>D(A):=\left\{x\in X: \lim_{h\rightarrow 0}\frac{T(h)x-x}h\ \mathrm{existiert}\right\}</math>

und

<math>Ax:=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{T(h)x-x}h</math> für <math>x\in D(A)</math>.

Folgerungen

Erzeugen <math>(A,D(A))</math> eine stark stetige Halbgruppe <math>(T_+(t))_{t\geq0}</math> mit <math>\|T_+(t)\|\leq Me^{\omega t}</math> und <math>(-A,D(A))</math> eine stark stetige Halbgruppe <math>(T_-(t))_{t\geq0}</math> mit <math>\|T_-(t)\|\leq Me^{\omega t}</math> für ein <math>\omega\in\R</math>, <math>M>0</math> und alle <math>t>0</math>.

So ist <math>(A,D(A))</math> der Erzeuger einer stark stetigen Gruppe <math>(T(t))_{t\geq 0}</math> mit <math>T(t)=T_+(t)</math> für <math>t\geq 0</math>, <math>T(t)=T_-(-t)</math> für <math>t<0</math> und <math>\|T(t)\|\leq Me^{\omega |t|}</math> für <math>t\in\R</math>.

Sei <math>(A,D(A))</math> ein dicht definierter, abgeschlossener Operator und es existiere <math>\omega\in\R</math> und <math>M>0</math>, so dass <math>(\omega,\infty)\cup(-\infty,-\omega)\subset\rho(A)</math> und <math>\|((|\lambda|-\omega)R(\lambda,A))^n\|\leq M</math> für alle <math>\lambda>\omega,\lambda<-\omega</math> und alle <math>n\in\N</math>.

Dann erzeugt <math>(A,D(A))</math> eine stark stetige Gruppe <math>(T(t))_{t\in\R}</math> mit <math>\|T(t)\|\leq Me^{\omega |t|}</math> für alle <math>t\in\R</math>. Hierbei stehen <math>R(\lambda,A)</math> für die Resolvente und <math>\rho(A)</math> für die Resolventenmenge von <math>A</math>.

Satz von Stone

Marshall Harvey Stone veröffentlichte 1932 in den Annals of Mathematics folgenden Satz: Seien <math>X</math> ein Hilbertraum und <math>T</math> eine stark stetige Gruppe, wobei <math>T(t)</math> für alle <math>t\in\R</math> unitär ist. Dann existiert ein selbstadjungierter Operator <math>A</math>, so dass <math>iA</math> der Erzeuger von <math>T</math> ist. Umgekehrt erzeugt <math>iA</math> für jeden selbstadjungierten Operator <math>A</math> eine stark stetige Gruppe aus unitären Operatoren.

Literatur

Klaus-Jochen Engel, Rainer Nagel: One-parameter semigroups for linear evolution equations. Springer, New York NY 2000, ISBN 0-387-98463-1 (Graduate Texts in Mathematics 194).
Tosio Kato: Perturbation Theory for Linear Operators. Corrected printing of the 2nd edition. Springer, Berlin 1980, ISBN 0-387-07558-5 (Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen 132), (Reprint. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1995, ISBN 3-540-58661-X (Classics in mathematics)).
Ammon Pazy: Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1983, ISBN 3-540-90845-5 (Applied Mathematical Sciences 44).