Standardnormalverteilungstabelle

Graph der halbseitigen Kurve von Φ_0;1(z)

Da sich das Integral der Normalverteilung

<math>F(x) = \frac 1{\sigma \sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-\frac 12 \left( \frac{t-\mu}{\sigma}\right)^2} \mathrm dt</math>

nicht auf eine elementare Stammfunktion zurückführen lässt, wird für die Berechnung meist auf Tabellen zurückgegriffen. Diese gelten aber nicht für beliebige <math>\mu</math>- und <math>\sigma</math>-Werte, sondern nur für die standardisierte Form der Normalverteilung, bei der jeweils <math>\mu = 0</math> und <math>\sigma=1</math> ist (man spricht auch von einer 0-1-Normalverteilung, Standardnormalverteilung oder normierten Normalverteilung). Trotzdem ist die Tabelle auch für beliebige <math>\mu</math>-<math>\sigma</math>-Normalverteilungen nützlich, da sich diese auf sehr einfache Weise in eine 0-1 Verteilung überführen lassen. Die folgende Tabelle der Standardnormalverteilung berechnet sich demnach durch

<math>\Phi_{0;1}(z)=\frac 1{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{z} e^{-\frac 12 t^2} \mathrm dt </math>

(weil <math>\mu=0</math> und <math>\sigma=1</math>) für <math>z\in\R</math>.

Flächeninhalte unter dem Graphen der Standardnormalverteilung

<math>\Phi_{0;1}(z)\,</math> →

z	0	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09
0,0	0,50000	0,50399	0,50798	0,51197	0,51595	0,51994	0,52392	0,52790	0,53188	0,53586
0,1	0,53983	0,54380	0,54776	0,55172	0,55567	0,55962	0,56356	0,56749	0,57142	0,57535
0,2	0,57926	0,58317	0,58706	0,59095	0,59483	0,59871	0,60257	0,60642	0,61026	0,61409
0,3	0,61791	0,62172	0,62552	0,62930	0,63307	0,63683	0,64058	0,64431	0,64803	0,65173
0,4	0,65542	0,65910	0,66276	0,66640	0,67003	0,67364	0,67724	0,68082	0,68439	0,68793
0,5	0,69146	0,69497	0,69847	0,70194	0,70540	0,70884	0,71226	0,71566	0,71904	0,72240
0,6	0,72575	0,72907	0,73237	0,73565	0,73891	0,74215	0,74537	0,74857	0,75175	0,75490
0,7	0,75804	0,76115	0,76424	0,76730	0,77035	0,77337	0,77637	0,77935	0,78230	0,78524
0,8	0,78814	0,79103	0,79389	0,79673	0,79955	0,80234	0,80511	0,80785	0,81057	0,81327
0,9	0,81594	0,81859	0,82121	0,82381	0,82639	0,82894	0,83147	0,83398	0,83646	0,83891
1,0	0,84134	0,84375	0,84614	0,84849	0,85083	0,85314	0,85543	0,85769	0,85993	0,86214
1,1	0,86433	0,86650	0,86864	0,87076	0,87286	0,87493	0,87698	0,87900	0,88100	0,88298
1,2	0,88493	0,88686	0,88877	0,89065	0,89251	0,89435	0,89617	0,89796	0,89973	0,90147
1,3	0,90320	0,90490	0,90658	0,90824	0,90988	0,91149	0,91309	0,91466	0,91621	0,91774
1,4	0,91924	0,92073	0,92220	0,92364	0,92507	0,92647	0,92785	0,92922	0,93056	0,93189
1,5	0,93319	0,93448	0,93574	0,93699	0,93822	0,93943	0,94062	0,94179	0,94295	0,94408
1,6	0,94520	0,94630	0,94738	0,94845	0,94950	0,95053	0,95154	0,95254	0,95352	0,95449
1,7	0,95543	0,95637	0,95728	0,95818	0,95907	0,95994	0,96080	0,96164	0,96246	0,96327
1,8	0,96407	0,96485	0,96562	0,96638	0,96712	0,96784	0,96856	0,96926	0,96995	0,97062
1,9	0,97128	0,97193	0,97257	0,97320	0,97381	0,97441	0,97500	0,97558	0,97615	0,97670
2,0	0,97725	0,97778	0,97831	0,97882	0,97932	0,97982	0,98030	0,98077	0,98124	0,98169
2,1	0,98214	0,98257	0,98300	0,98341	0,98382	0,98422	0,98461	0,98500	0,98537	0,98574
2,2	0,98610	0,98645	0,98679	0,98713	0,98745	0,98778	0,98809	0,98840	0,98870	0,98899
2,3	0,98928	0,98956	0,98983	0,99010	0,99036	0,99061	0,99086	0,99111	0,99134	0,99158
2,4	0,99180	0,99202	0,99224	0,99245	0,99266	0,99286	0,99305	0,99324	0,99343	0,99361
2,5	0,99379	0,99396	0,99413	0,99430	0,99446	0,99461	0,99477	0,99492	0,99506	0,99520
2,6	0,99534	0,99547	0,99560	0,99573	0,99585	0,99598	0,99609	0,99621	0,99632	0,99643
2,7	0,99653	0,99664	0,99674	0,99683	0,99693	0,99702	0,99711	0,99720	0,99728	0,99736
2,8	0,99744	0,99752	0,99760	0,99767	0,99774	0,99781	0,99788	0,99795	0,99801	0,99807
2,9	0,99813	0,99819	0,99825	0,99831	0,99836	0,99841	0,99846	0,99851	0,99856	0,99861
3,0	0,99865	0,99869	0,99874	0,99878	0,99882	0,99886	0,99889	0,99893	0,99896	0,99900
3,1	0,99903	0,99906	0,99910	0,99913	0,99916	0,99918	0,99921	0,99924	0,99926	0,99929
3,2	0,99931	0,99934	0,99936	0,99938	0,99940	0,99942	0,99944	0,99946	0,99948	0,99950
3,3	0,99952	0,99953	0,99955	0,99957	0,99958	0,99960	0,99961	0,99962	0,99964	0,99965
3,4	0,99966	0,99968	0,99969	0,99970	0,99971	0,99972	0,99973	0,99974	0,99975	0,99976
3,5	0,99977	0,99978	0,99978	0,99979	0,99980	0,99981	0,99981	0,99982	0,99983	0,99983
3,6	0,99984	0,99985	0,99985	0,99986	0,99986	0,99987	0,99987	0,99988	0,99988	0,99989
3,7	0,99989	0,99990	0,99990	0,99990	0,99991	0,99991	0,99992	0,99992	0,99992	0,99992
3,8	0,99993	0,99993	0,99993	0,99994	0,99994	0,99994	0,99994	0,99995	0,99995	0,99995
3,9	0,99995	0,99995	0,99996	0,99996	0,99996	0,99996	0,99996	0,99996	0,99997	0,99997
4,0	0,99997	0,99997	0,99997	0,99997	0,99997	0,99997	0,99998	0,99998	0,99998	0,99998

Anmerkung: Negative Werte werden aus Gründen der Symmetrie nicht angegeben, da <math>\Phi(-z)=1-\Phi(z)</math> ist.

Arbeiten mit der Tabelle

Aus der Tabelle kann die Wahrscheinlichkeit <math>\Phi(z)</math> für die Standardnormalverteilung ermittelt werden. Aufgrund des Zusammenhanges <math>\Phi(-z)=1-\Phi(z)</math> (und damit auch wegen der Symmetrie der gaußschen Glockenkurve) sind hier nur die positiven Werte von <math>z</math> zu finden.

Ist nun die Wahrscheinlichkeit <math>\Phi(z)</math> für Werte von <math>z</math> im Intervall von 0 bis 4,09 gesucht, so steht <math>z</math> bis zum Zehntel in der linken Randzeile der Tabelle und das Hundertstel findet sich in der Kopfzeile. Dort, wo sich die zugehörige Zeile und Spalte kreuzen, steht die Wahrscheinlichkeit <math>\Phi(z)</math>.

Übersteigt <math>z</math> die Grenze von 4,09, dann gilt

<math>\Phi(z) \approx 1</math>, für <math>z > 4{,}09.</math>

Vorsicht ist bei der Umkehrung geboten, bei der eine Wahrscheinlichkeit vorgegeben und das dazugehörige <math>z</math> gesucht ist. Hier kann derjenige Wert <math>\Phi(z)</math> angesehen werden, der den geringeren Abstand zur vorgegebenen Wahrscheinlichkeit hat. Anschließend setzt man <math>z</math> aus der Zeile und Spalte dieses Wertes zusammen. Ist also z. B. die Wahrscheinlichkeit 0,90670 gegeben, so wird in der Tabelle der Wert 0,90658 (entspricht einem <math>z</math> von 1,32) gewählt, weil dieser viel näher liegt, als der nächste mögliche Wert von 0,90824 (wobei dieser ein <math>z</math> von 1,33 ergäbe). Das genauere Ergebnis für <math>z</math> von 1,321 erhält man durch die übliche (lineare) Interpolation, die hier ergibt (0,90670 - 0,90658) / (0,90824 - 0,90658) = 12/166, was rund 0,1 ist. Um diese 0,1 der Differenz von 1,32 und 1,33, also um 0,001, ist damit der untere Wert 1,32 auf 1,321 zu erhöhen.

Anmerkung: Wurde eine beliebige <math>\mu</math>-<math>\sigma</math>-Normalverteilung in die Standardnormalverteilung transformiert, so muss die in der Tabelle abgelesene Wahrscheinlichkeit nicht mehr rücktransformiert werden, da eine flächengleiche Transformation vorliegt. (Wurde hingegen <math>z</math> aus der Tabelle ermittelt, so muss die Grenze <math>x</math> noch durch <math>x=z\sigma+\mu</math> berechnet werden.)

Beispielrechnung

Gegeben sei eine Normalverteilung mit dem Erwartungswert <math>\mu</math> von 5 und der Standardabweichung <math>\sigma</math> von 2. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zufallsvariable <math>X</math> zwischen den Werten <math> x_1 = 3</math> und <math> x_2 =7</math> liegt.

Betrachtet man die Gaußsche Glockenkurve, dann ist dies die Fläche unter dem Graphen der Wahrscheinlichkeitsdichte

<math>f(x)= \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,

e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}</math>, mit <math> \mu=5 </math> und <math> \sigma=2 </math>, welche durch <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> begrenzt wird.

Um die Wahrscheinlichkeit berechnen zu können, muss die zu dieser Wahrscheinlichkeitsdichte gehörige Verteilungsfunktion

<math> F(x) = \frac 1{\sigma \sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-\frac 12 \left(\frac{t-\mu}{\sigma}\right)^2} \mathrm dt</math>

transformiert werden (siehe Normalverteilung § Definition). Durch die Transformation wird die Kurve mit dem Erwartungswert <math>\mu</math> und der Standardabweichung <math>\sigma</math> verschoben und gestaucht (bzw. gestreckt), sodass sie einer 0-1-Normalverteilung entspricht. Dabei verschieben sich aber auch die Grenzen <math>x_1</math> und <math>x_2</math>; ebenfalls wird die Zufallsvariable <math>X</math> transformiert.

Dies geschieht durch

<math>z=\frac{x-\mu}{\sigma}</math> bzw. <math>Z= \frac {X-\mu}{\sigma}.</math>

(Das heißt, bei der eigentlichen Berechnung müssen die Transformationsschritte der Verteilungsfunktion nicht durchgerechnet werden; sie dienen nur dem Verständnis, wie die z-Formel zustande kommt.)

Am Beispiel gezeigt:

<math>\begin{align}

P(3 \leq X \leq 7) &=\\

 &= P\left(\frac {x_1-\mu}{\sigma} \leq Z= \frac {X-\mu}{\sigma} \leq \frac {x_2-\mu}{\sigma}\right)\\
 &= P(-1 \leq Z \leq 1)\\
 &= P(Z \leq 1) - P (Z \leq -1)\\
 &= \Phi(1) - \Phi(-1).

\end{align}</math>

Während man nun den Wert für <math>\Phi(1)</math> einfach aus der Tabelle bestimmen kann, muss man sich für <math>\Phi(-1)</math> überlegen, dass die gesuchte Fläche (bzw. Wahrscheinlichkeit) sich von <math>-\infty</math> bis zur Grenze −1 erstreckt. Durch die Symmetrie der Glockenkurve ist dies allerdings derselbe Wert wie von +1 bis <math>\infty</math>. Von der Gesamtfläche unter der Kurve, die ja 1 ist (= Wahrscheinlichkeit für ein sicheres Ereignis) wird also <math>\Phi(+1)</math> abgezogen, das heißt

Umgelegt auf das Beispiel ergibt sich

<math>\begin{align}

\Phi(1) - \Phi(-1) &= \Phi(1)-(1-\Phi(1))\\

 &= 2 \Phi(1) -1\qquad\Phi(1)\text{ der Tabelle entnehmen}\\
 &= 2 \cdot 0{,}84134 -1\\
 &= 0{,}68268,

\end{align}</math> das heißt die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt fast 70 Prozent.

Quantile

In statistischen Anwendungen, z. B. im Rahmen von Hypothesentests zum Auffinden kritischer Werte, stellt sich oft auch die Frage: Welchen Wert hat das <math>q</math>-Quantil <math>z_q</math>, wann also gilt <math>\Phi(z_q)=q</math>?

Sucht man z. B. das 97,5-%-Quantil <math>z_{0{,}975}</math>, d. h. <math>\Phi(z_{0{,}975})=0{,}975</math>, dann ergibt sich laut nebenstehender Tabelle <math>z_{0{,}975} \approx 1{,}959960 \approx 1{,}96</math> (gerundet auf sechs bzw. auf zwei Nachkommastellen).

<math>q</math>	0,750	0,800	0,900	0,950	0,975	0,990	0,995
<math>z_q</math>	0,674490	0,841621	1,281550	1,644850	1,959960	2,326350	2,575830

Literatur

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Weblinks

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