Störungslemma

Als Störungslemma bezeichnet man in der Numerik einen Satz, der eine Aussage über die Norm der Inversen einer regulären Matrix bei kleinen Störungen macht.

Aussage

Sei <math>A \in \mathbb{R}^{n \times n}</math> eine reguläre Matrix und <math>\delta A \in \mathbb{R}^{n \times n}</math> eine Matrix mit

<math>\|A^{-1}\| \cdot \|\delta A\|<1</math>

in einer submultiplikativen Matrixnorm <math>\| \cdot \|</math>. Dann ist auch die Matrix <math>A+ \delta A</math> regulär und es gilt für ihre Inverse:

<math>\|(A+\delta A )^{-1}\|\le \frac{\|A^{-1}\|}{1-\|A^{-1}\|\|\delta A\|}.</math>

Beweis

Sei <math>T := I - A^{-1}(A+\delta A)</math>. Dann gilt

<math>\|T\| = \|A^{-1}\cdot \delta A\| \leq \|A^{-1}\| \cdot \|\delta A\| < 1</math>

Also konvergiert die Neumann-Reihe <math>\sum_{n=0}^\infty T^n</math> und <math>I-T = A^{-1}(A+\delta A) </math> ist invertierbar. Da <math>A^{-1}</math> invertierbar ist, folgt, dass auch <math>A+\delta A</math> invertierbar ist und

<math> \|(A+\delta A)^{-1}\| = \| (I - T)^{-1} A^{-1} \| \leq \|A^{-1}\| \sum_{n=0}^\infty \|T^n\| \le \frac{\|A^{-1}\|}{1-\|A^{-1}\|\|\delta A\|} </math>

Verwendung

Dieses Lemma wird verwendet, um die Konditionszahl für das Lösen linearer Gleichungssysteme als

<math>\kappa (A)=\|A\| \cdot \| A^{-1}\| </math>

herzuleiten.

Literatur

• J. W. Demmel: Applied Numerical Linear Algebra. SIAM, Philadelphia 1997
• A. Kielbasinski und H. Schwetlick: Numerische lineare Algebra. Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1988, ISBN 3-326-00194-0