Spektrumsfaltung

Der Begriff Folded Spectrum Method (FSM) bzw. Spektrumsfaltung bezeichnet ein mathematisches iteratives Optimierungsverfahren für Eigenwertprobleme. Mit ihm ist es möglich, den Eigenvektor <math>\Psi</math> eines großen Eigenwertproblems zur Matrix <math>H</math> zu bestimmen, der am nächsten an einem beliebigen Ziel-Eigenwert <math>\varepsilon</math> (aus der Mitte des Spektrums) liegt, ohne die gesamte Matrix lösen zu müssen.

Formel

<math>\Psi_{i+1}= \Psi_i-\alpha( H- \varepsilon \mathbf{1} )^2 \Psi_i</math> , mit <math>0<\alpha^{\,}<1</math> und <math>\mathbf{1}</math> der Einheitsmatrix.

Bewertung

Im Gegensatz zum Bergsteigeralgorithmus (englisch hill climbing, auch downhill) oder dem CG-Verfahren wird der Gradient <math>G</math> hier (FSM) durch zweimaliges Anwenden der Matrix <math>H</math> ermittelt: <math>G\sim H\rightarrow G\sim H^2</math>

Dieses Verfahren eignet sich besonders für große dünnbesetzte Matrizen.

Literatur

J. K. L. MacDonald: On the Modified Ritz Variation Method. In: Physical Review. 46, 1934, S. 828.
L. W. Wang, A. Zunger: Electronic Structure Pseudopotential Calculations of Large (.apprx. 1000 Atoms) Si Quantum Dots. In: Journal of Chemical Physics. 98, 1994, S. 2158. doi:10.1021/j100059a032
L. W. Wang, A. Zunger: Solving Schrodinger's equation around a desired energy: Application to silicon quantum dots. In: Journal of Chemical Physics. 100, 1994, S. 2394.