Sierpiński-Konstante
Vorlage:Hinweisbaustein Die Sierpiński-Konstante ist eine mathematische Konstante, benannt nach dem polnischen Mathematiker Wacław Sierpiński. Sie kann unter anderem durch den folgenden Ausdruck definiert werden:
- <math>K = \lim_{n \to \infty}\left(\sum_{k=1}^{n} \frac{r_2(k)}{k} - \pi\ln n\right),</math>
wobei <math>r_2(k)</math> die Anzahl der Darstellungen von <math>k</math> in der Form <math>a^2+b^2</math> mit ganzen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math> unter Beachtung der Reihenfolge, <math>\pi</math> die Kreiszahl und <math>\ln</math> der natürliche Logarithmus ist.
Darstellungsformen
Ein expliziter Ausdruck für die Sierpiński-Konstante <math>K</math> ist
- <math>K = \pi\left(2\gamma+\ln\frac{4\pi^3}{\Gamma(1/4)^4}\right)</math>
mit der Euler-Mascheroni-Konstante <math>\gamma</math> und der Gammafunktion <math>\Gamma</math>. Aufgrund der Relation
- <math> \Gamma(1/4) = \frac{\pi\sqrt{2}}{\Gamma(3/4)} </math>
ergibt sich die alternative Darstellung
- <math> K = \pi \left(2 \gamma + 4 \ln\Gamma\left(\frac{3}{4}\right) - \ln\pi\right). </math>
Die Dezimalentwicklung von <math>K</math> ist
- <math>K = 2{,}58498\ 17595\ 79253\ 21706\ 58935\ 87383\ 17116\ 00880\ 51651\ 85263\ \dots</math> (Folge A062089 in OEIS)
rn(k)-Funktion
| <math>k</math> | <math>r_2(k)</math> |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 4 |
| 2 | 4 |
| 3 | 0 |
| 4 | 4 |
| 5 | 8 |
| 6 | 0 |
| 7 | 0 |
| … | … |
| 25 | 12 |
| … | … |
| 65 | 16 |
| … | … |
Die Sierpiński-Konstante tritt bei der Untersuchung der Asymptotik der Quadratsummen-Funktion (im Englischen als Sum of Squares bezeichnet)
- <math>r_n(k) = \bigl|\bigl\{ (a_1, a_2, \ldots, a_n) \in \Z^n \mid a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_n^2 = k \bigr\}\bigr|</math>
für den Fall <math>n = 2</math> auf (etwa um den Fall <math>n = 4</math> geht es beim Satz von Jacobi).
Beispielsweise ist <math>r_2(3)</math> = 0, da sich die Zahl 3 nicht als Summe aus zwei Quadratzahlen darstellen lässt, während <math>r_2(13)</math> = 8, denn 13 kann als Summe der Quadratzahlen 9 und 4 in zwei verschiedenen Reihenfolgen, <math>(\pm3)^2+(\pm2)^2</math> und <math>(\pm2)^2+(\pm3)^2</math>, jeweils in vier Vorzeichenkonstellationen gebildet werden.
Literatur
- Wacław Sierpiński: O sumowaniu szeregu <math>\textstyle\sum_{n>a}^{n\leq b}\tau(n)f(n)</math>, gdzie τ(n) oznacza liczbę rozkładów liczby n na sumę kwadratów dwóch liczb całkowitych (Über die Summierung der Reihe <math>\textstyle\sum_{n>a}^{n\leq b}\tau(n)f(n)</math>, wo τ(n) die Anzahl der Darstellungen von n als Summe von zwei Quadraten bezeichnet), Prace matematyczno-fizyczne 18, 1907, S. 1–60 (polnisch; im Internet-Archiv; „K=2,5849817596“ auf S. 27; Jahrbuch-Bericht)
- Steven R. Finch: Sierpinski’s constant, Kapitel 2.10 in Mathematical constants, Cambridge University Press, Cambridge 2003, ISBN 0-521-81805-2, S. 122–125 (englisch; Finchs Webseite zum Buch mit Errata und Addenda: Mathematical Constants.)
Weblinks
- Eric W. Weisstein: Sierpiński Constant. In: MathWorld (englisch).
- Eric W. Weisstein: Sum of Squares Function. In: MathWorld (englisch).
- Folge A062083 in OEIS (Kettenbruchentwicklung von K)
- Folge A108905 in OEIS (Engel-Entwicklung von K)