Semidirekte Summe

Die semidirekte Summe ist eine mathematische Konstruktion aus der Theorie der Lie-Algebren.

Konstruktion

Es seien <math>{\mathfrak a}</math> und <math>\mathfrak b</math> Lie-Algebren, <math>\pi: {\mathfrak a}\rightarrow {\rm End}({\mathfrak b})</math> sei eine Darstellung, das heißt:

<math>\pi</math> ist linear, und für alle <math>a_1,a_2\in {\mathfrak a}</math> gilt <math>\pi([a_1,a_2]) \,=\, \pi(a_1)\pi(a_2) - \pi(a_2)\pi(a_1)</math>.
<math>\pi(a)</math> ist für jedes <math>a\in {\mathfrak a}</math> eine Derivation auf <math>{\mathfrak b}</math>.

Dann gibt es auf der direkten Summe <math>{\mathfrak a}\oplus {\mathfrak b}</math> der Vektorräume genau eine Klammer <math>[\cdot,\cdot]</math>, so dass Folgendes gilt:

<math>{\mathfrak a}\oplus {\mathfrak b}</math> ist mit <math>[\cdot,\cdot]</math> eine Lie-Algebra.
Die Einschränkung der Klammer auf <math>{\mathfrak a}</math> und <math>{\mathfrak b} </math> stimmt mit den dort gegebenen Klammern überein.
Für alle <math>a\in {\mathfrak a}</math> und <math>b\in {\mathfrak b}</math> gilt <math>[a,b] \,=\, \pi(a)b</math>.

Dabei werden <math>{\mathfrak a}</math> und <math>{\mathfrak b}</math> als Unterräume der direkten Summe aufgefasst.

Die Klammer auf <math>{\mathfrak a}\oplus {\mathfrak b}</math> lautet

<math>[(a_1,b_1)\, ,\,(a_2,b_2)] := ([a_1,a_2]\, ,\, [b_1,b_2] + \pi(a_1)b_2-\pi(a_2)b_1) ,\quad a_1,a_2\in {\mathfrak a},\, b_1,b_2\in {\mathfrak b}</math>.

Man rechnet nach, dass durch diese Definition eine Lie-Algebra gegeben ist. Diese wird mit <math>{\mathfrak a}\ltimes_{\pi} {\mathfrak b}</math> bezeichnet und heißt die semidirekte Summe oder auch das semidirekte Produkt aus <math>{\mathfrak a}</math> und <math>\mathfrak b</math>. Wenn es bezüglich der Darstellung <math>\pi</math> keine Missverständnisse geben kann, so lässt man sie weg und schreibt einfach <math>{\mathfrak a}\ltimes {\mathfrak b}</math>.<ref>Anthony W. Knapp: Lie Groups Beyond an Introduction. Birkhäuser, 2002, ISBN 0817642595, Kap. I.4: Semidirect products of Lie-Algebras</ref><ref>Joachim Hilgert, Karl-Hermann Neeb: Lie-Gruppen und Lie-Algebren, Vieweg, 1999, ISBN 3-528-06432-3, II.1.13</ref>

Bemerkungen

In obiger Konstruktion ist <math>{\mathfrak a}</math> eine Lie-Unteralgebra der semidirekten Summe und <math>{\mathfrak b}</math> sogar ein Ideal, das heißt <math>[{\mathfrak a}\ltimes {\mathfrak b},{\mathfrak b}] \subset {\mathfrak b}</math>.
Ist <math>\pi = 0</math>, so liegt die direkte Summe der Lie-Algebren vor.
Seien <math>{\mathfrak g}</math> eine Lie-Algebra über dem Körper <math>K</math> und <math>d</math> eine Derivation auf <math>{\mathfrak g}</math>. Dann ist <math>Kd \subset {\rm End}({\mathfrak g})</math> eine Darstellung, und man kann <math> Kd \ltimes {\mathfrak g}</math> bilden. Dies nennt man auch die Adjunktion der Derivation <math>d</math>.

Erweiterungen

Ist <math>\iota:\mathfrak{b}\rightarrow {\mathfrak a}\ltimes {\mathfrak b}, b\mapsto (0,b)</math> und <math>q:{\mathfrak a}\ltimes {\mathfrak b} \rightarrow \mathfrak{a}, (a,b)\mapsto a</math>, so erhält man eine kurze exakte Sequenz aus Lie-Algebren und Lie-Algebren-Homomorphismen

<math>0\rightarrow \mathfrak{b}\, \xrightarrow{\iota} \, {\mathfrak a}\ltimes {\mathfrak b} \, \xrightarrow{q} {\mathfrak a} \rightarrow 0</math>.

Allgemein nennt man kurze exakte Sequenzen

<math>0\rightarrow \mathfrak{b}\rightarrow {\mathfrak c} \xrightarrow{q} {\mathfrak a} \rightarrow 0 </math>

bzw. die darin vorkommende Lie-Algebra <math>{\mathfrak c}</math> eine Erweiterung von <math>{\mathfrak a}</math> nach <math>{\mathfrak b}</math> (manchmal findet man auch die umgekehrte Sprechweise) und eine solche Erweiterung heißt zerfallend, wenn es einen Lie-Algebren-Homomorphismus <math>\psi:\mathfrak{a}\rightarrow \mathfrak{c}</math> gibt mit <math>q\circ \psi = \mathrm{id}_\mathfrak{a}</math>. Demnach ist <math>{\mathfrak a}\ltimes {\mathfrak b}</math> eine solche zerfallende Erweiterung, denn der Homomorphismus <math>{\mathfrak a} \rightarrow {\mathfrak a}\ltimes {\mathfrak b}, a\mapsto (a,0)</math> leistet das Verlangte.

Schließlich heißen zwei Erweiterungen <math>{\mathfrak c}_1</math> und <math>{\mathfrak c}_2</math> äquivalent, wenn es einen Isomorphismus <math>\varphi:{\mathfrak c}_1 \rightarrow {\mathfrak c}_2</math> gibt, der das Diagramm

<math>

 \begin{array}{ccccccc} 
   0  \rightarrow & \mathfrak{b} & \rightarrow & \mathfrak{c}_1 & \rightarrow & \mathfrak{a} & \rightarrow 0 \\
   & \parallel & & \downarrow \gamma & & \parallel \\
   0  \rightarrow & \mathfrak{b} & \rightarrow & \mathfrak{c}_2 & \rightarrow & \mathfrak{a} & \rightarrow 0 \\
 \end{array}

</math>

kommutativ macht. Mit Hilfe der semidirekten Summe kann man zerfallende Erweiterungen wie folgt charakterisieren<ref>Joachim Hilgert, Karl-Hermann Neeb: Lie-Gruppen und Lie-Algebren, Vieweg, 1999, ISBN 3-528-06432-3, II.4.4</ref>:

Eine Erweiterung

<math>0\rightarrow \mathfrak{b}\rightarrow {\mathfrak c} \rightarrow {\mathfrak a} \rightarrow 0 </math>

von Lie-Algebren ist genau dann zerfallend, wenn sie äquivalent zur semidirekten Summe

<math>0\rightarrow \mathfrak{b}\, \xrightarrow{\iota} \, {\mathfrak a}\ltimes {\mathfrak b} \, \xrightarrow{q} {\mathfrak a} \rightarrow 0</math>

ist.

Siehe auch

Einzelnachweise