Sellmeier-Gleichung

Die Sellmeier-Gleichung ist in der Optik eine empirisch ermittelte, funktionelle Beschreibung der Abhängigkeit des Brechungsindex <math>n</math> eines lichtdurchlässigen Mediums von der Wellenlänge <math>\lambda</math> des Lichts. Die Gleichung wurde nach Wolfgang von Sellmeier benannt, der sie 1871 in Anlehnung an die Cauchy-Gleichung und Kramers-Kronig-Relation veröffentlichte.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref><ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Anwendung findet sie vor allem in der technischen Optik zur Beschreibung der Dispersion von optischem Glas und anderen optischen Werkstoffen.

Mathematische Beschreibung

Beispiel: Koeffizienten für das Borosilikatglas BK7
Koeffizient	Wert
B₁	1,03961212
B₂	0,231792344
B₃	1,01046945
C₁	6,00069867·10⁻³ μm²
C₂	2,00179144·10⁻² μm²
C₃	103,560653 μm²

Datei:Dispersion - Sellmeier vs Cauchy modell DE.svg

Darstellung des Brechungsindex von Borsilikatglas (BK7) gegen die Wellenlänge. Im Diagramm werden die gemessenen Werte und entsprechende parametrische Anpassungen der Cauchy- bzw. Sellmeier-Gleichung miteinander verglichen.

Die Sellmeier-Gleichung kann als Erweiterung der Cauchy-Gleichung aufgefasst werden, sie lautet:

<math>

n^2(\lambda) \,=\, 1 + \frac{B_1 \lambda^2 }{ \lambda^2 - C_1} + \frac{B_2 \lambda^2 }{ \lambda^2 - C_2} + \frac{B_3 \lambda^2 }{ \lambda^2 - C_3} </math>

mit B_1,2,3 und C_1,2,3 als experimentell ermittelte Sellmeier-Koeffizienten. Die B_1,2,3 sind dimensionslos und die C_1,2,3 werden gewöhnlich in μm² angegeben.

Die Genauigkeit im sichtbaren Bereich ist in der Regel besser als <math>\pm 5 \cdot 10^{-6}</math>.

Der rechte Term der Gleichung kann für eine größere Genauigkeit auch um weitere Summanden erweitert werden:

<math>

n^2(\lambda) \, = \, 1 + \sum_{i=1}^m\frac{B_i \lambda^2 }{ \lambda^2 - C_i} </math>

Setzt man <math>C_i = \lambda_i^2</math>, so lassen sich die <math>\lambda_i</math> als Resonanzwellenlängen von Absorptionslinien oder -banden erklären.

Siehe auch

Einzelnachweise