Sekantensatz
Der Sekantensatz besagt: Schneiden sich zwei Sekanten außerhalb des Kreises in einem Punkt <math>P</math>, so ist das Produkt der Abschnittslängen vom Sekantenschnittpunkt bis zu den beiden Schnittpunkten von Kreis und Sekante auf beiden Sekanten gleich groß. Kürzer: Das Produkt der Sekantenabschnitte ist konstant.
Formulierung des Satzes
Gegeben sei ein Kreis mit zwei Sekanten, die sich in einem Punkt <math>P</math> außerhalb des Kreises schneiden. Bezeichnet man die Schnittpunkte des Kreises mit der einen Sekante als <math>A</math> und <math>D</math> und die Schnittpunkte mit der anderen Sekante als <math>B</math> und <math>C</math>, so gilt:
- <math>|\overline{AP}| \cdot |\overline{DP}| = |\overline{BP}| \cdot |\overline{CP}|</math>
Diese Aussage kann man auch als Verhältnisgleichung formulieren:
- <math>|\overline{AP}| : |\overline{BP}| = |\overline{CP}| : |\overline{DP}|</math>
Beweis
Der Sekantensatz lässt sich – ähnlich wie der Sehnensatz und der Sekanten-Tangenten-Satz – mit Hilfe ähnlicher Dreiecke beweisen.
Die Dreiecke <math>APC</math> und <math>BPD</math> sind ähnliche Dreiecke, denn:
- Der Winkel <math>\varphi</math> in Punkt <math>P</math> ist beiden Dreiecken gemeinsam.
- Umfangswinkel über einer Sehne sind gleich groß. Anwendung dieses Satzes auf die Sehne <math>\overline{AB}</math> ergibt <math>\angle ADB=\angle ACB</math> oder <math>\gamma_1=\delta_1</math>.
- <math>\triangle APC \sim \triangle BPD</math> (Ähnlichkeitssatz WW)
Daraus ergibt sich die Verhältnisgleichung
- <math>|\overline{AP}| : |\overline{BP}| = |\overline{CP}| : |\overline{DP}|</math>.
Durch Multiplikation mit <math>|\overline{BP}| \cdot |\overline{DP}|</math> erhält man:
- <math>|\overline{AP}| \cdot |\overline{DP}| = |\overline{BP}| \cdot |\overline{CP}|</math>
Ein rechnerischer Nachweis mit Hilfe des Satzes von Vieta ist im Artikel Potenz (Geometrie) enthalten.
Siehe auch
- Sehnensatz
- Sekanten-Tangenten-Satz
- Potenz (Geometrie), vereinigt die Aussage von Sehnen-, Sekanten- und Sekanten-Tangentensatz in einem einheitlichen Konzept
Literatur
- Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 2. Auflage. Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York, 2000, ISBN 3-540-67643-0, S. 148
- H. Schupp: Elementargeometrie, UTB Schöningh (1977), ISBN 3-506-99189-2, S. 150
- Schülerduden – Mathematik I. Bibliographisches Institut & F.A. Brockhaus, 8. Auflage, Mannheim 2008, ISBN 978-3-411-04208-1, S. 415–417
Weblinks
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