Schwarzschild-Tangherlini-Metrik

In der Allgemeinen Relativitätstheorie wird die höherdimensionale Verallgemeinerung der Schwarzschild-Metrik als Schwarzschild-Tangherlini-Metrik (nach Karl Schwarzschild, Frank R. Tangherlini) bezeichnet. Die allgemeine Form des Linienelements (in Weinbergs Vorzeichenkonvention) ist

<math> ds^2=-\Big[1-\Big(\frac{a}{r}\Big)^{d-3}\Big] dt^2 + \Big[1-\Big(\frac{a}{r}\Big)^{d-3}\Big]^{-1} dr^2 + r^2 d\Omega^2_{d-2},</math>

wobei <math>c=1</math> gesetzt wurde und <math>d</math> die Anzahl der Dimensionen der Raumzeit bezeichnet. In der „gewöhnlichen“ Raumzeit wäre also <math>d=4</math>. Mit <math>d\Omega^2_{d-2}</math> wird die Standardmetrik auf der <math>d-2</math>-dimensionalen Einheitssphäre <math>S^{d-2}</math> bezeichnet, die induktiv definiert ist durch

<math>d\Omega_1^2=d\varphi^2,\quad d\Omega^2_{i+1}=d\theta_i^2+\sin^2\theta_i d\Omega_i^2\;(i\ge 1),</math>

wobei die Koordinate <math>\varphi</math> Werte zwischen <Math>0</Math> und <math>2\pi</math> annimmt, während die Koordinaten <math>\theta_i</math> Werte zwischen <math>0</math> und <math>\pi</math> annehmen. Für <math>d=6</math> ergibt sich beispielsweise

<math>d\Omega_4^2=d\theta_3^2+\sin^2\theta_3 d\theta_2^2+\sin^2\theta_3 \sin^2 \theta_2 d\theta_1^2 + \sin^2\theta_3 \sin^2\theta_2 \sin^2\theta_1 d\varphi^2.</math>

Für <math>d\ge 5</math> ergibt sich das interessante Ergebnis, dass in dieser Metrik keine stabilen, gebundenen Bahnen massiver Teilchen existieren, die für <math>d=4</math> durchaus existieren. Dies sieht man ein, indem man die Bewegung in der Äquatorialebene <math>\theta_1=\theta_2=\ldots=\frac{\pi}{2}</math> betrachtet und die Koordinate <math>u(\varphi)=\frac{a}{r}</math> einführt. Aus der Lagrange-Dichte ergibt sich durch Einführung der Erhaltungsgrößen <math>E</math> („Energie“) und <math>l</math> („Drehimpuls“) die Gleichung

<math>\frac{1}{2}\left(\frac{du}{d\varphi}\right)^2 + \frac{1}{2}u^2 - \frac{1}{2} u^{d-1} - \frac{a^2}{l^2}u^{d-3}=\frac{a^2}{l^2}(E-1),</math>

wobei die letzten drei Terme auf der linken Seite ein effektives Potential darstellen. Skizziert man den Verlauf über <math>u</math>, so erkennt man sofort, dass für <math>d\ge 5</math> maximal ein bzw. genau ein (<math>d\ge 6</math>) Extremalpunkt existiert. Somit ist jede Teilchenbahn entweder unbeschränkt oder führt in die Singularität bei <math>u=\infty</math>.

Literatur

• Tangherlini, F.R., „Schwarzschild field in n dimensions and the dimensionality of space problem“, Nuovo Cim.27: 636-651 (1963)