Schwartz-Raum (allgemein)

Unter einem Schwartz-Raum versteht man in der Mathematik eine spezielle Klasse lokalkonvexer Vektorräume. Viele in den Anwendungen wichtige Räume, z. B. Räume differenzierbarer Funktionen, sind Schwartz-Räume. Der Raum <math>\mathcal S</math> der schnell fallenden Funktionen (s. u.) wird in der Distributionstheorie manchmal als der Schwartz-Raum bezeichnet, obwohl es sich lediglich um einen Vertreter der hier zu besprechenden Raumklasse handelt. Die Bezeichnung Schwartz-Raum (nach Laurent Schwartz) geht auf Alexander Grothendieck zurück. In der Literatur ist auch die Bezeichnung <math>S</math>-Raum verbreitet; ein vollständiger Schwartz-Raum wird dann auch ein <math>\overline{S}</math>-Raum genannt.

Definition

Ein lokalkonvexer Raum <math>E</math> heißt ein Schwartz-Raum, wenn es zu jedem normierten Raum <math>F</math> und jedem stetigen linearen Operator <math>A \colon E\rightarrow F</math> eine Nullumgebung <math>V\subset E</math> gibt, so dass das Bild <math>A(V)</math> präkompakt ist.

Dies ist genau dann der Fall, wenn es zu jedem Banachraum <math>F</math> und jedem stetigen linearen Operator <math>A:E\rightarrow F</math> eine Nullumgebung <math>V\subset E</math> gibt, so dass <math>\overline{A(V)}</math> kompakt ist.

Eine innere Charakterisierung lautet:

Ein lokalkonvexer Raum <math>E</math> ist genau dann ein Schwartz-Raum, wenn es zu jeder Nullumgebung <math>U\subset E</math> eine Nullumgebung <math>V\subset E</math> gibt, so dass man zu jedem <math>\epsilon > 0</math> endlich viele Punkte <math>x_1,\ldots,x_n \in E</math> mit <math>\textstyle V\subset \bigcup_{j=1}^n(x_j+\epsilon U)</math> finden kann.

Präkompakte Halbnormen

Weiter lassen sich Schwartz-Räume über die stetigen Halbnormen charakterisieren. Eine Halbnorm <math>p</math> auf einem lokalkonvexen Raum <math>E</math> heißt präkompakt, falls es eine Nullfolge <math>(\zeta_n)_n</math> in <math>\mathbb K</math> und eine gleichstetige Folge <math>(f_n)_n</math> im starken Dualraum <math>E\,'</math> gibt, so dass für alle <math>x\in E</math> die Ungleichung <math>\textstyle p(x) \le \sup_{n\in \mathbb N}|\zeta_n f_n(x)|</math> gilt. (Dabei heißt die Folge <math>(f_n)_n</math> gleichstetig, wenn es eine stetige Halbnorm <math>q</math> auf <math>E</math> gibt mit <math>|f_n(x)| \le q(x)</math> für alle <math>x\in E</math> und <math>n\in {\mathbb N}</math>.)

Präkompakte Halbnormen sind stetig, denn mit obigen Bezeichnungen erhält man die Abschätzung <math>\textstyle p(x) \le \sup_{n\in \mathbb N}|\zeta_n f_n(x)| \le \sup_{n\in \mathbb N}|\zeta_n|\cdot q(x)</math>. Die Umkehrung ist im Allgemeinen nicht richtig, sie stellt vielmehr eine Charakterisierung der Schwartz-Räume dar, denn es gilt:

Ein lokalkonvexer Raum <math>E</math> ist genau dann ein Schwartz-Raum, wenn jede stetige Halbnorm präkompakt ist.

Beispiele

Unter den normierten Räumen sind genau die endlich-dimensionalen Räume Schwartz-Räume.
Jeder vollständige nukleare Raum ist ein Schwartz-Raum.
Sei <math>{\mathcal S}({\mathbb R}^n)</math> der Raum aller Funktionen <math>f:{\mathbb R}^n \rightarrow {\mathbb R}</math>, für die alle Suprema <math>\textstyle p_{k,m}(f) := \sup_{|\alpha|\le k}\sup_{x\in {\mathbb R}^n} |(1+|x|^2)^m D^\alpha f(x)|</math> endlich sind. Dabei wurde von der Multiindex-Schreibweise Gebrauch gemacht. Der Raum <math>{\mathcal S}({\mathbb R}^n)</math> mit den Halbnormen <math>\{p_{k,m};\,k,m\in{\mathbb N}_0\}</math> heißt Raum der schnell fallenden Funktionen. Er ist ein Schwartz-Raum und wird manchmal auch als der Schwartz-Raum bezeichnet.
Jede Folge <math>(a_n)_n\in \ell^1</math> definiert durch die Festlegung <math>\textstyle (x_n)_n \mapsto \sum_{n=1}^\infty a_nx_n</math> ein lineares Funktional auf dem Folgenraum <math>\ell^\infty</math> der beschränkten Folgen. Diesen Raum versehe man mit der feinsten lokalkonvexen Topologie, so dass der Dualraum bzgl. dieser Identifikation mit <math>\ell^1</math> zusammenfällt. Nach dem Satz von Mackey-Arens gibt es eine solche Topologie, die Mackey-Topologie <math>\tau(\ell^\infty,\ell^1)</math>. Der lokalkonvexe Raum <math>(\ell^\infty,\tau(\ell^\infty,\ell^1))</math> ist ein vollständiger Schwartz-Raum, der nicht nuklear ist.

Eigenschaften

Unterräume und Quotientenräume nach abgeschlossenen Unterräumen von Schwartz-Räumen sind wieder Schwartz-Räume.
Beliebige Produkte von Schwartz-Räumen sind wieder Schwartz-Räume.
Vollständige quasitonnelierte Schwartz-Räume sind Montel-Räume. Es gibt aber Fréchet-Montel-Räume, die keine Schwartz-Räume sind.
Ein lokalkonvexer Raum <math>E</math> ist genau dann ein Schwartz-Raum, wenn es eine Menge <math>I</math> gibt, so dass <math>E</math> topologisch isomorph zu einem Unterraum von <math>(\ell^\infty,\tau(\ell^\infty,\ell^1))^I</math> ist. In diesem Sinne ist <math>(\ell^\infty,\tau(\ell^\infty,\ell^1))</math> ein universeller Schwartz-Raum.

Vollständige Schwartz-Räume

Vollständige Schwartz-Räume haben besondere Eigenschaften und lassen weitere Charakterisierungen zu. Ist <math>p</math> eine stetige Halbnorm auf dem lokalkonvexen Raum <math>E</math>, so ist <math>N_p := \{x\in E; p(x)=0\}</math> ein abgeschlossener Unterraum von <math>E</math> und durch <math>\|x+N_p\|_p := p(x)</math> wird eine Norm auf dem Faktorraum <math>E_p := E/N_p</math> erklärt. Die Vervollständigung dieses normierten Raums wird mit <math>B_p</math> bezeichnet. Ist <math>q</math> eine weitere stetige Halbnorm mit <math>p \le q</math>, so definiert <math>x+N_q\mapsto x+N_p</math> einen stetigen linearen Operator <math>E_q \rightarrow E_p</math>, der sich stetig zu einem linearen Operator <math>\kappa_{qp}:B_q\rightarrow B_p</math> fortsetzen lässt. Die <math>B_p</math> heißen die lokalen Banachräume und die Operatoren <math>\kappa_{qp}</math> heißen kanonische Abbildungen von <math>E</math>. Mit diesen Begriffen können vollständige Schwartz-Räume wie folgt charakterisiert werden:

Ein lokalkonvexer Raum ist genau dann ein vollständiger Schwartz-Raum, wenn es zu jeder stetigen Halbnorm <math>p</math> eine weitere stetige Halbnorm <math>q \ge p</math> gibt, so dass die kanonische Abbildung <math>\kappa_{qp}:B_q\rightarrow B_p</math> ein kompakter Operator ist.

Es genügt natürlich, sich auf ein gerichtetes System erzeugender Halbnormen zu beschränken.

In vollständigen Schwartz-Räumen gilt der Satz von Bolzano-Weierstraß, das heißt, eine Menge ist genau dann kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist.

Literatur

K. Floret, J. Wloka: Einführung in die Theorie der lokalkonvexen Räume. Lecture Notes in Mathematics 56, 1968.
H. H. Schaefer: Topological Vector Spaces. Springer, 1971.
H. Jarchow: Locally Convex Spaces. Teubner, Stuttgart 1981.
Yau-Chuen Wong: Introductory Theory of Topological Vector Spaces. Marcel Dekker Ltd., 1992.
R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis. Vieweg, 1992. ISBN 3-528-07262-8