Schmidt-Zerlegung

In der linearen Algebra bezeichnet die Schmidt-Zerlegung (die nach Erhard Schmidt benannt ist) eine bestimmte Darstellung eines Vektors im Tensorprodukt von zwei Vektorräumen mit Skalarprodukt als Summe von wenigen paarweise orthonormalen Produktvektoren. Die Schmidt-Zerlegung findet zum Beispiel in der Quanteninformatik Anwendung.

Aussage

Seien <math>H_1</math> und <math>H_2</math> Hilberträume der Dimension <math>n</math> beziehungsweise <math>m</math> und sei <math>n \geq m</math>. Dann gibt es für jeden Vektor <math>v\in H_1 \otimes H_2</math> Mengen von paarweise orthonormalen Vektoren <math>\{ u_1, \ldots, u_m \} \subset H_1</math> und <math>\{ v_1, \ldots, v_m \} \subset H_2</math>, so dass

<math>v = \sum_{i =1} ^m \alpha _i u_i \otimes v_i</math>

gilt, wobei die nicht-negativen Zahlen <math>\alpha_1\geq\alpha_2\geq...\geq\alpha_m\geq0</math> durch <math>v</math> eindeutig bestimmt sind.

Beweis

Die Schmidt-Zerlegung ist im Wesentlichen eine Konsequenz der Singulärwert-Zerlegung. Fixiere Orthonormalbasen <math>\{ e_1, \ldots, e_n \} \subset H_1</math> und <math>\{ f_1, \ldots, f_m \} \subset H_2</math>. Der Elementartensor <math>e_i \otimes f_j</math> kann mit der Matrix <math>e_i f_j ^T</math> (hier bezeichnet <math>f_j ^T</math> die Transposition von <math>f_j</math>) identifiziert werden. Ein beliebiger Vektor <math>v</math> lässt sich in der Basis <math>e_i\otimes f_j</math> schreiben als

<math>v = \sum _{1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq m} \beta _{ij} e_i \otimes f_j</math>

und kann dann mit der <math>n\times m</math> Matrix

identifiziert werden. Nach der Singulärwertzerlegung gibt es unitäre Matrizen <math>U</math> auf <math>H_1</math> und <math>V</math> auf <math>H_2</math> und eine positiv-semidefinite <math>m\times m</math> Diagonalmatrix <math>\Sigma</math> so dass

<math>M_v = U \begin{bmatrix} \Sigma \\ 0 \end{bmatrix} V^T .</math>

Schreibt man <math>U =\begin{bmatrix} U_1 & U_2 \end{bmatrix}</math>, wobei <math>U_1</math> eine <math>n\times m</math>-Matrix ist, dann erhält man

<math>\; M_v = U_1 \Sigma V^T .</math>

Bezeichnet man nun die ersten <math>m</math> Spaltenvektoren von <math>U_1</math> mit <math>\{ u_1, \ldots, u_m \}</math> und mit <math>\{ v_1, \ldots, v_m \}</math> die Spaltenvektoren von V und die Diagonalelemente der Matrix <math>\Sigma</math> mit <math>\alpha_1, \ldots, \alpha_m</math> dann folgt

<math>M_v = U_1 \Sigma V^T = \sum _{i=1} ^m \alpha_i u_i v_i ^T = \sum _{i=1} ^m \alpha_i u_i \otimes v_i </math>,

was die Behauptung beweist.

Verwendung in der Physik

Die Schmidt-Zerlegung findet z. B. in der Quantenphysik Anwendung.

Spektrum reduzierter Zustände

Betrachte einen Vektor in der Schmidt-Form

<math>w = \sum_{i =1} ^m \alpha _i u_i \otimes v_i.</math>

Die Matrix <math>\rho = w w^*</math> (<math>w^*</math> bezeichnet den zu <math>w</math> adjungierten Vektor) ist ein eindimensionaler Projektor auf <math>H_1\otimes H_2</math>. Die partielle Spur von <math>\rho</math> bezüglich entweder dem Teilsystem <math>H_1</math> oder <math>H_2</math> ist dann durch eine Diagonalmatrix gegeben, deren nicht-verschwindende Einträge <math>|\alpha_i|^2</math> sind. Anders ausgedrückt zeigt die Schmidt-Zerlegung, dass das Spektrum der beiden partiellen Spuren <math>\text{tr}_1(\rho)</math> und <math>\text{tr}_2(\rho)</math> gleich ist.

Schmidt-Rang und Verschränkung

Für einen Vektor <math>w\in H_1 \otimes H_2</math> werden die strikt positiven Werte <math>\alpha_i>0</math> in seiner Schmidt-Zerlegung als seine Schmidt-Koeffizienten bezeichnet. Die Anzahl von Schmidt-Koeffizienten heißt Schmidt-Rang von <math>w</math>.

Die folgenden Aussagen sind äquivalent:

der Schmidt-Rang von <math>w</math> ist größer als eins
<math>w</math> lässt sich nicht als Produktvektor <math>u \otimes v</math> schreiben
<math>w</math> ist verschränkt
die reduzierten Zustände von <math>w</math> sind nicht rein

Literatur

Erhard Schmidt: Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen, Mathematische Annalen 63, 433–476 (1907).
Asher Peres: Quantum Theory: Concepts and Methods, Kluwer (Dordrecht, 1993), Kapitel 5.
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Einzelnachweise