Schiefer Kegel

Schiefkegel

Die Basis des allgemeinen Schiefkegels ist eine geschlossene Kurve mit der Parameter-Darstellung <math>x(t):= p(t)</math> und <math>y(t):= q(t)</math>, wobei <math>p</math> und <math>q</math> im Intervall <math>[c,d]</math> differenzierbar sind (bis auf höchstens endlich viele Ausnahmen), außerdem: <math>p(c) = p(d)</math> und <math>q(c) = q(d)</math>. Der Punkt <math>E = (u,v)</math> liegt in der Kurven-Ebene, die Kegelspitze <math>S</math> steht im Abstand <math>h</math> senkrecht über <math>E</math>, also <math>S = (u,v,h)</math>. Der folgende Formalismus gilt auch für nicht geschlossene Kurven, dann spricht man besser von Segeln als von Kegeln (Dreiecks-Segeln, geschwungenen Dreiecken). Um die Formeln übersichtlich zu halten, wird die Ableitung nach <math>t</math> (wie in der Physik üblich) mit einem Punkt versehen.

Mantel des allgemeinen Schiefkegels

Die Formel für die Mantelfläche <math>M</math> des allgemeinen Schiefkegels gleicht der des schiefen Ellipsenkegels (abgesehen von den Integrationsgrenzen):

<math>M = \frac{1}{2}\int\limits_c^d\sqrt{Z(t)^2 + h^2\cdot N(t)^2}\mathrm dt</math>

Hier bedeuten

und

Man könnte mit diesem Formalismus auch den Pyramiden-Mantel berechnen (die Pyramide als „Kegel“ mit quadratischer Basis), aber hier führt die Elementar-Geometrie schneller zum Ziel.

Die geometrische Bedeutung von Z und N

Von Z

Das Radizieren einer Funktion <math>f</math> über <math>[c,d]</math> erfordert Sorgfalt, denn die Quadratwurzel aus <math>f^2</math> ist mehrdeutig, sogar unendlich vieldeutig. Um das einzusehen, braucht man nur an einer beliebigen Stelle <math>a</math> (die nicht Nullstelle von <math>f</math> ist) den Wert <math>f(a)</math> in <math>-f(a)</math> umzukehren. Geometrisch bedeutsam sind die Wurzeln <math>|f|</math> und <math>f</math>. Wenn in der Formel für den Mantel eines allgemeinen Schiefkegels die Höhe <math>h</math> gegen Null strebt, entsteht der Ausdruck

<math>M = \frac{1}{2}\int\limits_c^d\sqrt{Z(t)^2}\mathrm dt</math>

und insbesondere für die Wurzel <math>|Z(t)|</math>:

<math>M = \frac{1}{2}\int\limits_c^d|Z(t)|\mathrm dt</math>

geometrisch gesehen ist das die Fläche des „zusammengefalteten“ Kegelmantels in der xy-Ebene (wo die Kegelbasis liegt). Für die Wurzel <math>Z(t)</math> hingegen ergibt sich

<math>M = \frac{1}{2}\int\limits_c^dZ(t)\mathrm dt = \frac{1}{2}\int\limits_c^d((p - u)\cdot\dot{q} - (q - v)\cdot\dot{p} )\mathrm dt = \frac{1}{2}\int\limits_c^d (p\dot{q} - \dot{p} q)\mathrm dt</math>

weil die bestimmten Integrale über die Ableitungen von <math>uq</math> und <math>vp</math> Null sind. Das folgt aus der Nebenbedingung <math>p(c) = p(d)</math> und <math>q(c) = q(d)</math>. Geometrisch gesehen handelt es sich hierbei um die Fläche der Kegelbasis. Durch partielle Integration (und Beachtung von <math>p(c)q(c) = p(d)q(d)</math>) gewinnt man die Gleichung:

<math>M = \frac{1}{2}\int\limits_c^d(p\dot{q} - \dot{p}q)\mathrm dt = \int\limits_c^d p\dot{q}\mathrm dt</math>

Der rechte Ausdruck besticht durch seine Kürze, ist aber unpraktisch, weil sich der scheinbar komplizierte linke Ausdruck besser auswerten lässt. Die Fläche zwischen den Tangenten von <math>E</math> an die Kegelbasis (die Basis selbst nicht mitgerechnet), also die Fläche des Tangenten-Zipfels, ergibt sich aus

<math>M = \frac{1}{4}\int\limits_c^d(|Z(t)| - Z(t))\mathrm dt</math>

Der Faktor ¼ (statt ½) besagt, dass die Fläche des Tangentenzipfels nur einmal gezählt wird (statt doppelt wie beim zusammengefalteten Kegelmantel, bei dem die <math>E</math> zugewandte und die <math>E</math> abgewandte Mantelfläche übereinander liegen). Wenn <math>E</math> auf dem Rand oder innerhalb der Kegelbasis liegt, verschwindet <math>M</math>. Dann nämlich fallen Basis und zusammengefalteter Mantel in eins.

Von N

Ndt ist das Integrationselement des Umfangs der Kegelbasis (siehe Grafik). Der Umfang der Kegelbasis ergibt sich daher zu

<math>U = \int\limits_c^d|N(t)|\mathrm dt</math>

Wenn man nur <math>N(t)</math> als Integranden wählt (statt <math>|N(t)|</math>), kann es vorkommen, dass das Integral verschwindet. Beispiel: Die Astroide (Sternkurve) hat die Parameterdarstellung <math>p(t) = a \cos^3(t), q(t) = a \sin^3(t)</math> über <math>[0, 2\pi]</math>. Dann ist <math>N(t)^2 = 9a^2 \sin^2(t) \cos^2(t)</math>. Für <math>N(t) = 3a \sin(t) \cos(t)</math> verschwindet das Integral über <math>[0,2\pi]</math>. Für <math>|N(t)|</math> jedoch ergibt sich

<math>U = 3a\int\limits_0^{2\pi}\left|\sin(t)\cdot\cos(t)\right|\mathrm dt = 12a\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\sin(t)\cdot\cos(t)\mathrm dt = 6a</math>

Von Z/N

Der Quotient misst den Abstand des Höhenfußpunktes <math>E = (u,v)</math> von der Kurven-Tangente an <math>(p,q)</math> in Abhängigkeit von <math>t</math> (siehe Grafik). Die allgemeine Gleichung der Tangente an <math>(p,q)</math> lautet

Division durch <math>N</math> führt zur Hesseschen Normalform. Den Abstand des Punktes <math>E = (u,v)</math> von der Tangente gewinnt man dadurch, dass man <math>u</math> und <math>v</math> in die Normalform einsetzt (ohne die Null): das Ergebnis ist <math>Z/N</math>. Beispiel: Die Funktionen <math>p(t) = r \cos(t) + m</math> und <math>q(t) = r \sin(t) + n</math> über <math>[0, 2\pi]</math> beschreiben den Kreis <math>r</math> um <math>(m,n)</math>. Dann ist <math>Z(t)/N(t) = r + (m-u) \cos(t) + (n-v) \sin(t)</math>. Wenn <math>E</math> in das Zentrum des Kreises rückt, wenn also <math>u = m</math> und <math>v = n</math>, resultiert <math>Z(t)/N(t) = r</math>, d. h. die Lote von <math>E</math> auf die Kreistangenten sind die Radiusvektoren der Länge <math>r</math>.

Beispiel: Schiefer Kreiskegel

Die Parameterdarstellung des Kreises <math>r</math> lautet: <math>p(t) = r \cos(t), q(t) = r \sin(t)</math> über <math>[0,2\pi]</math>.

Wenn man diese Werte und ihre Ableitungen in die Formel für den Mantel des allgemeinen Schiefkegels einsetzt, erhält man den Ausdruck

<math>M = \frac{r}{2}\int\limits_0^{2\pi}\sqrt{(r-u\cdot\cos(t)-v\cdot\sin(t))^2 + h^2}\mathrm dt</math>

Mit einem geeigneten (festen) Winkel <math>w</math> lassen sich <math>u</math> und <math>v</math> darstellen als <math>u = e \cos(w)</math> und <math>v = e \sin(w)</math>, wobei <math>e^2:= u^2+v^2</math>, daher gilt nach dem Additionstheorem: <math>u \cos(t) + v \sin(t) = e \cos(w-t)</math>, so dass

<math>M = \frac{r}{2}\int\limits_0^{2\pi}\sqrt{(r-e\cdot\cos(w-t))^2 + h^2}\mathrm dt</math>

Bei der Integration über den Vollkreis spielt die Wahl von <math>w</math> keine Rolle. Man darf deshalb <math>w = 0</math> setzen. Der Integrand ist für <math>w = 0</math> eine bezüglich <math>\pi</math> symmetrische Funktion, so dass man nur über den Halbkreis zu integrieren braucht und das Resultat verdoppeln muss, also:

<math>M = r\int\limits_0^\pi\sqrt{(r-e\cdot\cos(t))^2 + h^2}\mathrm dt</math>.

Siehe auch