Satz von Weyl über Gleichverteilung

Vorlage:Hinweisbaustein Der Satz von Weyl (nach Hermann Weyl) ist die Grundlage für arithmetische Zufallszahlengeneratoren. Er besagt:

Sei <math>y_0 \in \ ]0, 1[</math> eine irrationale Zahl. Dann hat die Folge

<math>(u_i)_{i \ge1} \subseteq \ ]0, 1[</math>,

gliedweise definiert durch

<math>u_i = i y_0 - \lfloor i y_0 \rfloor = i y_0 \ \bmod \ 1</math>

die asymptotische Gleichverteilungseigenschaft. Für alle <math>a,b \in \mathbb{R}</math> mit <math> 0 < a < b < 1 </math> gilt also:

<math>

\frac{ \left| \{ i | 1 \le i \le n; a \le u_i \le b \} \right| }{n}

 \quad \xrightarrow[n \rightarrow \infty] \quad \quad b - a

</math>. Anders gesagt: die Wahrscheinlichkeit, dass ein willkürlich gewähltes Folgenglied in <math>[a,b] </math> liegt, beträgt <math>b-a</math>.