Satz von Wallace

Der Satz von Wallace ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Teilgebiet der Topologie, welcher auf den amerikanischen Mathematiker Alexander Doniphan Wallace (1905–1985)<ref>Weiteres zur Vita siehe hier.</ref> zurückgeht.<ref>Kelley: General topology. 1975, S. 142.</ref><ref>Shershin: Introduction to topological semigroups. 1979, S. 23.</ref><ref>Joshi: Introduction to General Topology. 1983, S. 171.</ref> Er behandelt eine spezielle Trennungseigenschaft kompakter Produktunterräume in Produkttopologien: Ein Produkt kompakter Mengen in einer offenen Menge liegt in einem darin enthaltenen Produkt offener Mengen.

Formulierung des Satzes

Gegeben seien zwei topologische Räume <math>X</math> und <math>Y</math> und darin eingelagert zwei kompakte Unterräume <math>A \subseteq X</math> und <math>B \subseteq Y</math>. Sei ferner <math>W</math> eine offene Obermenge von <math> A \times B </math> in <math> X \times Y </math>.

Dann existieren offene Teilmengen <math>U \subseteq X</math> und <math>V \subseteq Y</math> mit <math> A \times B \subseteq U \times V \subseteq W </math>.

Korollar

Jeder kompakte Hausdorff-Raum ist normal.<ref>Shershin: Introduction to topological semigroups. 1979, S. 24.</ref>

Sind nämlich <math>A</math> und <math>B</math> abgeschlossene, disjunkte Teilmengen des kompakten Hausdorffraums <math>X</math>, so ist <math>A\times B\subset W:=\{(x,y)\in X\times X; x\not= y\} \subset X\times X</math>. Da <math>X</math> ein Hausdorffraum ist, ist die Diagonale abgeschlossen, also ist <math>W</math> offen. Wendet man nun obigen Satz von Wallace an, so erhält man zwei offene Mengen <math>U\supseteq A</math> und <math>V\supseteq B</math> mit <math>U\times V\subseteq W</math>, d. h. <math>U\cap V=\emptyset</math>. Damit ist <math>X</math> normal.

Literatur

John L. Kelley: General topology (= Graduate Texts in Mathematics. Band 27). Reprint of the 1955 edition published by Van Nostrand. Springer, New York NY u. a. 1975, ISBN 3-540-90125-6.
Anthony Connors Shershin: Introduction to topological semigroups. University Presses of Florida, Miami FL 1979, ISBN 0-8130-0664-3.
Kapil D. Joshi: Introduction to General Topology. Wiley Eastern, New Delhi u. a. 1983, ISBN 0-85226-444-5.

Einzelnachweise