Satz von Tamano

Der Satz von Tamano ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Teilgebiet der Topologie, der auf den japanischen Mathematiker Hisahiro Tamano zurückgeht.<ref>Tamano: On Paracompactness. 1960, S. 1043–1047.</ref><ref>Naber: Set-theoretic Topology. 1977, S. 161.</ref><ref>Nagata: Modern General Topology. 1985, S. 237.</ref><ref>Willard: General Topology. 1970, S. 154.</ref> Er charakterisiert die Parakompaktheit topologischer Räume mittels der Konzepte von Normalität und Kompaktheit unter Einbeziehung der Stone-Čech-Kompaktifizierung.

Formulierung des Satzes

Für jeden Hausdorff-Raum <math>X</math> sind die folgenden Bedingungen gleichwertig:

<math> X </math> ist parakompakt.
<math>X</math> ist vollständig regulär und das topologische Produkt <math>X \times {\beta {X}}</math> von <math>X</math> mit seiner Stone-Čech-Kompaktifizierung <math>\beta {X}</math> ist normal.
Das topologische Produkt <math>X \times K </math> von <math>X</math> mit jedem beliebigen kompakten Hausdorff-Raum <math>K </math> ist normal.

Korollar

Für jeden parakompakten Hausdorff-Raum <math>X</math> und jeden kompakten Hausdorff-Raum <math>Y</math> ist das topologische Produkt <math>X \times Y </math> ein parakompakter Hausdorff-Raum.<ref>Naber: Set-theoretic Topology. 1977, S. 148.</ref><ref>Nagata: Modern General Topology. 1985, S. 223.</ref><ref>Schubert: Topologie. 1975, S. 85.</ref>

Dies folgt sofort mit (3) und dem Satz von Tychonoff. Dieses Korollar wiederum zieht seinerseits das folgende Resultat nach sich:

Für jeden Hausdorff-Raum <math>X</math> sind die folgenden beiden Bedingungen gleichwertig:

<math> X \times Y </math> ist normal für jeden parakompakten Hausdorff-Raum <math>Y</math>.
<math> X \times Y </math> ist parakompakt für jeden parakompakten Hausdorff-Raum <math>Y</math>.<ref>Naber: Set-theoretic Topology. 1977, S. 163.</ref>

Literatur

Artikel

Hisahiro Tamano: On Paracompactness. In: Pacific Journal of Mathematics. Band 10, Nr. 3, 1960, S. 1043–1047, doi:10.2140/pjm.1960.10.1043.

Monografien

Gregory Naber: Set-theoretic Topology. With emphasis on problems from the theory of coverings, zero dimensionality and cardinal invariants. University Microfilms International, Ann Arbor MI 1977, ISBN 0-8357-0257-X.
Jun-iti Nagata: Modern General Topology (= North Holland Mathematical Library. Band 33). 2. überarbeitete Auflage. North-Holland Publishing, Amsterdam / New York / Oxford 1985, ISBN 0-444-87655-3 (MR0831659).
Horst Schubert: Topologie. Eine Einführung. 4. Auflage. B. G. Teubner, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6.
Stephen Willard: General Topology. Addison-Wesley, Reading MA u. a. 1970.

Einzelnachweise