Satz von Rademacher

Der Satz von Rademacher, benannt nach dem deutschen Mathematiker Hans Rademacher, ist ein Satz der Analysis über Lipschitz-stetige Funktionen.

Aussage

Seien <math>n, m \in \N</math> natürliche Zahlen, <math>U \subseteq \R^n</math> eine offene Teilmenge eines euklidischen Raumes und schließlich <math>f \colon U \to \R^m</math> eine Lipschitz-stetige Funktion. Dann ist <math>f</math> fast überall (total) differenzierbar.<ref>Juha Heinonen, Lectures on Lipschitz Analysis (PDF; 481 kB), Lectures at the 14th Jyväskylä Summer School in August 2004. (Satz von Rademacher inklusive eines Beweises: S. 18ff.) Abgerufen am 12. Juni 2012.</ref>

Das heißt, die Menge aller Punkte, in denen <math>f</math> nicht differenzierbar ist, ist eine Lebesgue-Nullmenge.

Verallgemeinerung

Es gibt eine Verallgemeinerung für Funktionen <math>f\colon U \to (X, d_X)</math>, wobei <math>X</math> nun einen beliebigen metrischen Raum bezeichne.

Zunächst ist jedoch nicht klar, wie sich obiger Satz auf diesen Fall übertragen lässt, denn ein metrischer Raum trägt nicht a priori auch eine lineare Struktur.

Fasst man <math>f</math> als Funktion zwischen normierten Räumen auf und legt die Fréchet-Differenzierbarkeit zu Grunde, dann wird der Satz sogar falsch:

Als Gegenbeispiel dient hier klassisch die Funktion <math>\Phi\colon [0;1] \to L^1([0;1]), \ t \mapsto \chi_{[0, t]}</math>, wobei <math>\chi_{[0, t]}</math> die charakteristische Funktion des Intervalls <math>[0, t]</math> bezeichne.

Es gilt für beliebige <math>\ 1 \ge y \ge x \ge 0</math>

<math>\|\Phi(y)-\Phi(x)\|_{L^1} = \int_0^1 |\chi_{[0,y]}(t)-\chi_{[0,x]}(t)|\,dt = \int_x^y 1\ dt = |y-x|</math>.

Dabei bezeichne <math>\|{\cdot}\|_{L^1}</math> die L¹-Norm. Das heißt, <math>\Phi</math> ist eine Isometrie und damit erst recht Lipschitz-stetig, es lässt sich aber zeigen, dass <math>\Phi</math> nirgendwo Fréchet-differenzierbar ist.

Der deutsche Mathematiker Bernd Kirchheim hat nun aber den Satz von Rademacher in einem anderen Sinne verallgemeinern können:<ref>Bernd Kirchheim: Rectifiable metric spaces: Local structure and regularity of the Hausdorff measure; zitiert nach: Proceedings of the American Mathematical Society: Volume 121, Number 1, May 1994. Abgerufen am 12. Juni 2012.</ref>

Ist eine Funktion von einem euklidischen in einen metrischen Raum Lipschitz-stetig, so ist sie fast überall metrisch differenzierbar.

Einzelnachweise