Satz von Orlicz-Pettis

Der Satz von Orlicz-Pettis (nach Władysław Orlicz und Billy James Pettis) ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis. Er erlaubt es, in einer bestimmten Situation von der schwachen Konvergenz auf die Normkonvergenz in Banachräumen zu schließen.

In unendlich-dimensionalen Banachräumen ist die schwache Topologie echt schwächer als die Normtopologie. Ist zum Beispiel <math>e_n</math> der <math>n</math>-te Basisvektor im Hilbertraum <math>\ell^2</math>, d. h. diejenige Folge, die an der <math>n</math>-ten Stelle eine 1 und an allen anderen Stellen eine 0 hat, so konvergiert die Folge <math>(e_n)_n</math> bezüglich der schwachen Topologie gegen 0. Jedes stetige lineare Funktional <math>f\in (\ell^2)^'</math> hat nämlich nach dem Darstellungssatz von Fréchet-Riesz die Gestalt <math>f(\cdot)=\langle\cdot,\xi\rangle</math> für ein <math>\xi = (\xi_k)_k\in \ell^2</math>, und daher gilt <math>f(e_n) = \langle e_n,\xi\rangle = \xi_n \rightarrow 0</math>. Die Folge <math>(e_n)_n</math> kann aber nicht bezüglich der Norm konvergieren, denn ein möglicher Normlimes müsste ebenfalls 0 sein, aber es gilt <math>\|e_n\|=1</math> für alle Indizes <math>n</math>.

Für Reihen in Banachräumen sieht die Situation genauso aus. Setzt man in obigem Beispiel <math>x_1=e_1</math> und <math>x_n := e_n-e_{n-1}</math> für <math>n>1</math>, so ist <math>\sum_{n=1}^N x_n\,=\,e_N</math>. Daher konvergiert die Reihe <math>\sum_n^\infty x_n</math> in der schwachen Topologie (gegen 0), aber nicht in der Normtopologie.

Eine Reihe <math>\Sigma_n x_n</math> heißt teilreihenkonvergent, wenn jede Teilreihe konvergiert, das heißt, wenn <math>\Sigma_m x_{n_m}</math> für jede Folge <math>n_1 < n_2 < n_3 < \cdots</math> konvergiert. Für teilreihenkonvergente Reihen besteht der beschriebene Unterschied zwischen schwacher Konvergenz und Normkonvergenz nicht mehr, genau das ist der Inhalt des hier vorgestellten Satzes:

Satz von Orlicz-Pettis:

Eine bezüglich der schwachen Topologie teilreihenkonvergente Reihe in einem Banachraum ist auch bezüglich der Normtopologie teilreihenkonvergent.

Dieser Satz wurde zunächst 1929 von Orlicz<ref>W. Orlicz: Beitrage zur Theorie der Orthogonalentwicklungen, Studia Math. Band 1, (1929), Seiten 241–255</ref> bewiesen und unabhängig davon 1938 von Pettis<ref>B. J. Pettis: On Integration in Vector Spaces. Trans. Amer. Math. Soc. Band 44 (1938), Seiten 277–304</ref>. Moderne Beweise<ref>Joseph Diestel: Sequences and Series in Banach Spaces. 1984, ISBN 0-387-90859-5</ref> benutzen das Bochner-Integral. Umgekehrt war die vektorwertige Integrationstheorie gerade die Motivation für Pettis, sich mit diesem Satz zu beschäftigen. Dieser Satz hat eine ganze Reihe von Verallgemeinerungen erfahren, man spricht dann von Sätzen vom Orlicz-Pettis-Typ. So gilt z. B. in lokalkonvexen Räumen, dass die teilreihenkonvergenten Reihen bezüglich der schwachen Topologie und bezüglich der Mackey-Topologie zusammenfallen<ref>P. Dierolf: Theorems of the Orlicz-Pettis Type for Locally Convex Spaces, Manuscripta Mathematica, Band 20 (1977), Seiten 73–94</ref>.

Einzelnachweise