Satz von Mertens (Resultantensystem)

Der Satz von Mertens ist ein Satz über homogene Polynome, der unter anderem in der algebraischen Geometrie für projektiv algebraische Mengen relevant ist.

Formulierung

Seien K ein algebraisch abgeschlossener Körper und <math> f_{1}, ..., f_{r} \in K[t_{0},..., t_{n}] </math> homogene Polynome der Grade <math> g_{1},..., g_{r} </math>:

<math> f_{I}= \sum_{I} a_{I}^{(i)}t_{0}^{i_{0}}...t_{n}^{i_{n}} </math>

Dann gibt es ein Resultantensystem, das heißt Polynome <math> R_{1}, ..., R_{N} </math> in den Unbestimmten <math> a_{I}^{(i)} </math>, sodass die Polynome <math> f_{1}, ..., f_{r} </math> eine gemeinsame Nullstelle außer 0 haben (also eine im projektiven Raum), genau dann wenn für alle k <math> R_{k}(a_{I}^{(i)} ) = 0 </math>

Beweis

<math> f_{1}, ..., f_{r} </math> haben keine gemeinsame Nullstelle außer 0 genau dann, wenn ihre gemeinsame Nullstellenmenge in der Nullstellenmenge von <math> t_{0},..., t_{n} </math> enthalten ist, die ja nur die 0 ist. Wie man sich mit Hilfe des Hilbertschen Nullstellensatzes leicht überlegen kann, ist dies genau dann der Fall, wenn es eine natürliche Zahl d gibt, sodass <math> \underline{t}^{D} \in < f_{1}, ..., f_{r} > </math> für alle Multiindizes mit Betrag d. Also sind alle Monome des Grades d in diesem Ideal enthalten, lassen sich also darstellen als Summe dieser mit anderen ohne Einschränkung homogenen Polynomen als Koeffizienten. Unter den <math> \underline{t}^{D} f_{i} </math>, wobei <math> |D|=d-g_{i} </math> muss es also soviel linear unabhängige geben wie Monome des Grades d. Also gilt: Sie haben keine gemeinsame Nullstelle außer der 0 genau dann, wenn für alle natürlichen Zahlen d je <math> e_{d} </math> (Anzahl Monome des Grades d) der <math> \underline{t}^{D} f_{i} </math> linear unabhängig sind. Dies ist äquivalent zum Verschwinden von <math> e_{d} </math> -Unterdeterminanten gebildet aus 0 und <math> a_{I}^{(i)} </math>. Dies sind Polynome in den <math> a_{I}^{(i)} </math> und wegen Noetherzität von <math> K[t_{0}, ...., t_{n}] </math> (Hilbertscher Basissatz) reichen endlich viele.

Literatur

• Franz Mertens: Zur Theorie der Elimination (= Sitzungsberichte der Wiener Akademie der Wissenschaften), Band 108 (1889), Seite 1174.
• B. L. van der Waerden: Zur Konstruktion des Resultantensystems für homogene Gleichungen. In: Archiv der Mathematik, Band 5 (1954), Heft 4–6, S. 371ff, ISSN 0003-889X