Lindelöf-Raum

Ein Lindelöf-Raum ist ein mathematisches Objekt aus der mengentheoretischen Topologie. Es handelt sich um ein Konzept, welches das des kompakten Raums verallgemeinert. Benannt ist der Lindelöf-Raum nach dem Mathematiker Ernst Leonard Lindelöf.

Ein Lindelöf-Raum ist erblich (), falls jeder seiner offenen Unterräume ein Lindelöf-Raum ist.<ref name="Willard">S. Willard: General Topoloy. Hrsg.: Dover Publications. Taiwan 2004, S. 114. </ref>

Definition

Ein topologischer Raum wird Lindelöf-Raum genannt, falls jede offene Überdeckung eine höchstens abzählbare Teilüberdeckung besitzt.

Satz von Lindelöf

Hat der topologische Raum <math>X</math> eine abzählbare Basis, so ist <math>X</math> ein Lindelöf-Raum.

Weitere Eigenschaften

• Jeder kompakte Raum ist ein Lindelöf-Raum. Allgemeiner ist jeder <math>\sigma</math>-kompakte Raum ein Lindelöf-Raum.
• Ein topologischer Raum ist genau dann kompakt, wenn er abzählbar kompakt und Lindelöf-Raum ist.
• Für metrisierbare Räume sind die drei Eigenschaften zweitabzählbar, lindelöf und separabel äquivalent.
• Abgeschlossene Teilräume von Lindelöf-Räumen sind wieder Lindelöf-Räume.
• Jeder reguläre Raum, der ein Lindelöf-Raum ist, ist ein normaler Raum.

Erblicher Lindelöf-Raum

Ein Lindelöf-Raum <math>X</math> ist erblich, falls jeder seiner offenen Unterräume auch ein Lindelöf-Raum ist.<ref name="Willard" />

• Ist das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllt, dann ist der Lindelöf-Raum erblich.
• Jeder abzählbare Lindelöf-Raum ist erblich.

Eigenschaften

• Wenn <math>X</math> ein lokalkonvexer Raum mit topologischen Dualraum <math>X'</math>, der hausdorff und auch ein erblicher Lindelöf-Raum ist, dann gilt für die zylindrische σ-Algebra <math>\mathcal{E}(X,X')</math> und borelsche σ-Algebra <math>\mathcal{B}(X)</math> folgende Gleichheit

<math>\mathcal{E}(X,X')=\mathcal{B}(X).</math><ref>Itaru Mitoma, Susumu Okada und Yoshiaki Okazaki: Cylindrical σ-algebra and cylindrical measure. In: Osaka University and Osaka Metropolitan University, Departments of Mathematics (Hrsg.): Osaka Journal of Mathematics. Band 14, Nr. 3, 1977, S. 640 (Theorem 3.6). </ref>

Literatur

• Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie (= Springer-Lehrbuch). 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9.

Einzelnachweise

<references />