Satz von Lehmann-Scheffé

Der Satz von Lehmann-Scheffé ist ein zentrales Resultat der Schätztheorie, einem Teilgebiet der mathematischen Statistik. Die auf dem Satz von Rao-Blackwell aufbauende Aussage liefert Kriterien, unter denen erwartungstreue Punktschätzer auch gleichmäßig beste erwartungstreue Schätzer sind, also eine geringere Varianz als alle weiteren erwartungstreuen Schätzer besitzen.

Der Satz ist nach Erich Leo Lehmann und Henry Scheffé benannt.

Aussage

Der Satz von Lehmann-Scheffé lässt sich auf unterschiedliche Weisen formulieren, die sich in ihrer Notation und den verwendeten Strukturen unterscheiden, inhaltlich aber identisch sind.

Für σ-Algebren

Gegeben sei ein statistisches Modell <math> (X, \mathcal A, \mathcal P) </math> und sei <math> D_g </math> die Menge aller erwartungstreuer Schätzer mit endlicher Varianz für die Parameterfunktion <math> g </math>. Die Unter-σ-Algebra <math> \mathcal S \subset \mathcal A </math> sei sowohl suffizient für <math> \mathcal P </math> als auch vollständig für <math> \mathcal L^2(X, \mathcal A, \mathcal P )</math>.

Ist <math> T \in D_g </math>, dann ist die Rao-Blackwell-Verbesserung <math> T^+:=\operatorname E_\bullet(T|\mathcal S) </math> von <math> T </math> bezüglich <math> \mathcal S </math> gleichmäßig bester erwartungstreuer Schätzer für <math> g </math>. Sprich es gilt

<math> \operatorname{Var}_P(T^+)\leq \operatorname{Var}_P(K) \quad \mathrm{f\ddot ur \;alle\;}P \in \mathcal P </math>

und alle weiteren <math> K \in D_g</math>.

Für Statistiken

Die Formulierung mittels Statistiken folgt direkt aus der obigen: Die suffiziente, vollständige σ-Algebra <math> \mathcal S </math> wird durch eine suffiziente, vollständige Statistik <math> S </math> ersetzt. Teils wird <math> \mathcal P </math> auch als <math> (P_\vartheta)_{\vartheta \in \Theta} </math> notiert. Dies bedeutet nicht, dass die Aussage nur für parametrische Modelle gilt. Voll ausformuliert lautet die Aussage dann: <math> T^+:=\operatorname E_\bullet(T| S) </math> ist ein gleichmäßig bester erwartungstreuer Schätzer für <math> g </math>, sprich es ist

<math> \operatorname{Var}_\vartheta(T^+)\leq \operatorname{Var}_\vartheta(K) \quad \mathrm{f\ddot ur \;alle\;}\vartheta \in \Theta </math>

und alle weiteren <math> K \in D_g</math>.

Alternative Formulierungen

Mögliche Umformulierungen der obigen Aussagen sind:

Ist <math> \mathcal S </math> suffizient und vollständig für <math> \mathcal L^2(X, \mathcal A, \mathcal P )</math> und ist <math> T \in \mathcal L^2(X, \mathcal S, \mathcal P)\cap D_g </math>, so ist <math> T </math> gleichmäßig bester erwartungstreuer Schätzer für <math> g </math>.
Ist <math> T </math> eine vollständige suffiziente Statistik und existiert ein <math> h </math>, so dass <math> h \circ T </math> ein erwartungstreuer Schätzer für <math> g </math> ist, so ist <math> h \circ T </math> ein gleichmäßig bester erwartungstreuer Schätzer für <math> g </math>. Dies gilt, da <math> \operatorname E_\bullet(h \circ T|T)=h \circ T </math>. Setzt man nun in der obigen Aussage <math> S=h \circ T </math>, so folgt diese Formulierung.

Verallgemeinerungen

Eine Spezialisierung des Satzes von Lehmann-Scheffé ist der Satz von Barankin und Stein, der die Struktur lokal minimaler Schätzer beschreibt.

Literatur

Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, doi:10.1007/978-3-642-41997-3.
Claudia Czado, Thorsten Schmidt: Mathematische Statistik. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-17260-1, doi:10.1007/978-3-642-17261-8.