Satz von Krein-Milman

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Für eine kompakte konvexe Menge K (hellblau) und die Menge ihrer Extremalpunkte B (rot) gilt, dass K die abgeschlossene konvexe Hülle von B ist.

Der Satz von Krein-Milman<ref>M. Krein, D. Milman (1940): "On extreme points of regular convex sets", Studia Mathematica 9, 133–138.</ref> (nach Mark Grigorjewitsch Krein und David Milman) ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis.

Aussage

Ist <math>E</math> ein hausdorffscher lokalkonvexer Raum und darin <math>\mathcal{C}\subset E</math> eine nichtleere, kompakte und konvexe Teilmenge, so besitzt <math>\mathcal{C}</math> Extremalpunkte und ist dabei gleich der abgeschlossenen konvexen Hülle der Menge all dieser Extremalpunkte.<ref>Walter Rudin: Functional Analysis. McGraw-Hill, Boston (u. a.) 1991, S. 75</ref>

Der Beweis des Krein-Milman’schen Satzes basiert auf dem Lemma von Zorn (oder einem gleichwertigen Maximalprinzip der Mengenlehre) und dem Satz von Hahn-Banach und setzt damit die Gültigkeit des Auswahlaxioms voraus.<ref>Dirk Werner: Funktionalanalysis. Springer Verlag, Berlin und Heidelberg 2007, S. 418 ff.</ref><ref>Walter Rudin: Functional Analysis. McGraw-Hill, Boston (u. a.) 1991, S. 75 ff.</ref>

Der Krein-Milman’sche Satz hat eine teilweise Umkehrung, die in der Regel als Satz von Milman bezeichnet wird:<ref>Diese Umkehrsatz zum Krein-Milman’schen ist nicht mit dem Satz von Milman-Pettis identisch.</ref> Ist <math>\mathcal{C}\subset E</math> eine kompakte, konvexe Menge und ist <math>T\subseteq \mathcal{C}</math> so beschaffen, dass <math>\mathcal{C}</math> gleich der abgeschlossenen konvexen Hülle von <math>T</math> ist, so sind im topologischen Abschluss von <math>T</math> alle Extremalpunkte von <math>\mathcal{C}</math> enthalten.<ref>Dirk Werner: Funktionalanalysis. Springer Verlag, Berlin und Heidelberg 2007, S. 423</ref>

Eine Verschärfung des Satzes von Krein-Milman ist der Satz von Choquet. Noch erheblich mehr gilt in endlich-dimensionalen und insbesondere euklidischen Räumen, wo mit dem Satz von Minkowski und dem Satz von Carathéodory noch wesentlich schärfere Aussagen vorliegen.

Mit dem Satz von Krein-Milman eng verwandt sind der Satz von Straszewicz sowie der Satz von Klee-Straszewicz, bei denen die Menge der exponierten Punkte an die Stelle der Menge der Extremalpunkte tritt.

Anwendung

Der Banachraum <math>c_0</math> der reellen oder komplexen Nullfolgen mit der Supremumsnorm <math>\|\cdot\|_\infty</math> ist kein Dualraum.

Wäre er ein Dualraum, so wäre die Einheitskugel nach dem Satz von Banach-Alaoglu kompakt in der schwach-*-Topologie, hätte also nach obigem Satz von Krein-Milman Extremalpunkte. Ist aber <math>x=(x_n)_{n \in \N}</math> ein beliebiger Punkt aus der Einheitskugel, so gibt es einen Index <math>m \in \N</math> mit <math>|x_m|<\tfrac{1}{2}</math>, denn die Folge konvergiert gegen 0. Ist nun <math>h=(h_n)_{n \in \N}</math> definiert durch <math>h_n=0</math> für <math>n \neq m</math> und <math>h_m=\tfrac{1}{2}</math>, so sind <math>\|x+h\|_\infty \le 1</math> und <math>\|x-h\|_\infty \le 1</math> und <math>x=\tfrac{1}{2}(x+h) + \tfrac{1}{2}(x-h)</math>, das heißt, der beliebig vorgegebene Punkt <math>x</math> der Einheitskugel ist kein Extremalpunkt. Also hat die Einheitskugel von <math>c_0</math> keine Extremalpunkte und <math>c_0</math> kann daher kein Dualraum sein.

Siehe auch

Literatur

Harro Heuser: Funktionalanalysis, Theorie und Anwendung, Teubner, November 2006, 362–363.
Jürg T. Marti: Konvexe Analysis (= Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiet der Exakten Wissenschaften, Mathematische Reihe. Band 54). Birkhäuser Verlag, Basel, Stuttgart 1977, ISBN 3-7643-0839-7 (MR0511737).
A. P. Robertson, W. J. Robertson: Topologische Vektorräume. Übersetzung aus dem Englischen durch Horst S. Holdgrün (= B. I.-Hochschultaschenbücher. 164/164a). Bibliographisches Institut, Mannheim 1967, S. 147–149 (MR0209926).
Walter Rudin: Functional Analysis (= International Series in Pure and Applied Mathematics). 2. Auflage. McGraw-Hill, Boston (u. a.) 1991, ISBN 0-07-054236-8, S. 75–77 (MR1157815).
Dirk Werner: Funktionalanalysis (= Springer-Lehrbuch). 6., korrigierte Auflage. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg 2007, ISBN 978-3-540-72533-6, S. 418 ff.

Einzelnachweise