Satz von König (Mengenlehre)

Zu den grundlegenden Sätzen der Mengenlehre zählt der Satz von König (), der von dem ungarischen Mathematiker Julius König in den Jahren 1904/1905 entdeckt und publiziert wurde. Der Satz formuliert für gewisse Kardinalzahlen eine strikte Ungleichung, die manchmal auch als Ungleichung von Zermelo und König bezeichnet wird.<ref name="WS_01">Wachau Sierpiński: Cardinal and Ordinal Numbers. Państowe Wydawnictwo Naukowe, Warschau 1965, X, S. 181–184. </ref><ref name="HDE_01">Heinz-Dieter Ebbinghaus: Einführung in die Mengenlehre. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, Berlin 2003, IX, S. 139. </ref><ref name="MF_01">Miriam Franchella: In the footsteps of Julius König’s paradox. In: Hist. Math. Band 43, 2016, S. 65–86 (zbMATH Open). </ref>

Aussage

Für eine Familie <math>\langle\kappa_i\mid i\in I\rangle</math> von Kardinalzahlen ist die Summe dieser Kardinalzahlen die Mächtigkeit der disjunkten Vereinigung von Mengen der Mächtigkeit <math>\kappa_i</math>,

<math>\sum_{i\in I}\kappa_i =\vert\bigcup_{i\in I}M_i\vert,</math>

und das Produkt die Mächtigkeit des kartesischen Produkts,

<math>\prod_{i\in I}\kappa_i = | \prod_{i \in I} M_i| = \vert\{f\colon I\to\textstyle\bigcup_{i\in I}M_i\mid\forall i\in I\ f(i)\in M_i\}\vert.</math>

Hierbei sind die <math>M_i</math> paarweise disjunkte Mengen mit <math>\vert M_i\vert=\kappa_i</math>, zum Beispiel <math>M_i = \kappa_i \times \{i\}</math>. Die Wohldefiniertheit beider Operationen folgt aus dem Auswahlaxiom.

Der Satz von König besagt nun:

Für zwei Kardinalzahlfolgen <math>\langle\kappa_i\mid i\in I\rangle</math> und <math>\langle\lambda_i\mid i\in I\rangle</math> mit <math>\kappa_i<\lambda_i</math> für alle <math>i \in I</math> gilt:

<math>\sum_{i\in I}\kappa_i<\prod_{i\in I}\lambda_i</math>.

Beweis

Seien <math>\langle X_i\mid i\in I\rangle</math>, <math>\langle Y_i\mid i\in I\rangle</math> zwei Familien von paarweise disjunkten Mengen mit <math>\vert X_i\vert=\kappa_i<\lambda_i=\vert Y_i\vert</math>. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann man annehmen, dass <math>X_i \subsetneq Y_i</math>. Es ist zu zeigen: Es gibt eine injektive, aber keine bijektive Abbildung

<math>\Phi\colon \bigcup_{i\in I} X_i\to \prod_{i \in I} Y_i = \{f \colon I\to\textstyle\bigcup_{i\in I} Y_i\mid\forall i\in I \ f(i)\in Y_i\}</math>

Für jedes <math>i\in I</math> sei <math>\alpha_i</math> ein Element aus <math>Y_i\setminus X_i</math>. Sei <math>\textstyle x\in\bigcup_{i\in I}X_i</math>. Dann gibt es ein eindeutiges <math>j\in I</math> mit <math>x\in X_j</math>. Sei <math>\textstyle f:=\Phi(x) \in \prod_{i \in I} Y_i</math> die Funktion mit

<math>f(i)=\begin{cases} x, & i=j\\ \alpha_i, & i\neq j\end{cases}</math>.

Dann ist <math>\Phi</math> injektiv.

Sei nun eine beliebige solche Abbildung <math>\Phi</math> gegeben. Für <math>i\in I</math> definiere <math>f(i)</math> als ein Element aus <math>Y_i\setminus\{\Phi(x)(i)\vert x\in X_i\}</math>. Dann ist <math>f</math> an der Stelle <math>i</math> verschieden von allen Bildern von <math>\Phi</math> aus <math>X_i</math>. Da dies für alle <math>i\in I</math> gilt, ist <math>\Phi</math> nicht surjektiv und damit nicht bijektiv.

Folgerungen

Aus dem Satz von König lassen sich weitere Ungleichungen unmittelbar herleiten (<math>\kappa</math> und <math>\lambda</math> seien Kardinalzahlen):

• Bezeichnet <math>\operatorname{cf}(\kappa)</math> die Konfinalität von <math>\kappa</math>, so gilt für <math>\kappa</math> unendlich <math>\kappa^{\operatorname{cf}(\kappa)}>\kappa</math>.
• für <math>\kappa>1</math> und <math>\lambda</math> unendlich <math>\operatorname{cf}(\kappa^\lambda)>\lambda</math>.

Literatur

• Heinz-Dieter Ebbinghaus: Einführung in die Mengenlehre. Mit Aufgaben und Lösungshinweisen. 4. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, Berlin 2003, ISBN 3-8274-1411-3, IX, S. 139–141. 
• Thomas Jech: Set Theory. The third millennium edition, revised and expanded (= Springer Monographs in Mathematics). Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 2003, ISBN 3-540-44085-2 (zbMATH Open). 
• Erich Kamke: Mengenlehre (= Sammlung Göschen. 999/999a). 7. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin, New York 1971, II, S. 60–63. 
• J. König: Zum Kontinuum-Problem. In: Mathematische Annalen. Band 60, 1905, S. 177–180 (MR1511296). 
• J. König: Berichtigung. In: Mathematische Annalen. Band 60, 1905, S. 462 (MR1511318). 
• Wacław Sierpiński: Cardinal and Ordinal Numbers (= Monografie Matematyczne. Band 34). 2. Auflage. Państowe Wydawnictwo Naukowe, Warschau 1965, X, S. 181–184 (MR0194339). 

Einzelnachweise

<references />