Satz von Hurwitz (Funktionentheorie)

Der Satz von Hurwitz (nach Adolf Hurwitz (1859–1919) benannt) ist ein Satz aus der Funktionentheorie.

Der Satz von Hurwitz

Sei <math>(f_n)_{n \in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Funktionen die auf einem Gebiet <math>G</math> holomorph sind und die Folge <math>(f_n)_{n \in \mathbb{N}}</math> konvergiere kompakt gegen <math>f</math>. Ist außerdem die Anzahl der Nullstellen der Funktionen <math>f_n</math> (ab einem Index) durch <math>M</math> beschränkt, dann gilt:

Die Grenzfunktion <math>f</math> hat maximal <math>M</math> Nullstellen auf <math>G</math> oder <math>f \equiv 0</math> auf <math>G</math> (<math>f</math> ist die Nullfunktion).

Folgerung

Sei <math>(f_n)_{n \in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Funktionen, die auf einem Gebiet <math>G</math> holomorph und injektiv sind, und die Folge <math>(f_n)_{n \in \mathbb{N}}</math> konvergiere kompakt gegen <math>f</math>.

Dann ist <math>f</math> injektiv auf <math>G</math> oder konstant auf <math>G</math>.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Hurwitz's theorem. In: MathWorld (englisch).
• Jiri Lebl: Hurwitz's theorem. In: PlanetMath. (englisch)