Satz von Gleason-Kahane-Żelazko

Der Satz von Gleason-Kahane-Żelazko, benannt nach Andrew Gleason, Jean-Pierre Kahane und Wiesław Żelazko, ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis. Der Satz charakterisiert die multiplikativen linearen Funktionale auf einer <math>\Complex</math>-Banachalgebra.

Formulierung des Satzes

Seien <math>A</math> eine <math>\Complex</math>-Banachalgebra mit Einselement <math>e</math> und <math>\varphi\colon A \rightarrow \Complex</math> ein lineares Funktional. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

<math>\varphi\not= 0</math>, und <math>\varphi</math> ist multiplikativ, das heißt, <math>\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)</math> für alle <math>a,b\in A</math>.
<math>\varphi(e)=1</math>, und <math>\operatorname{ker}(\varphi)</math> besteht nur aus nicht-invertierbaren Elementen.
<math>\varphi(a)\in \sigma(a)</math> für alle <math>a\in A</math>, das heißt, für jedes <math>a\in A</math> liegt <math>\varphi(a)</math> im Spektrum von <math>a</math>

Bemerkungen

Die Schlüsse <math>(1) \Rightarrow (2) \Rightarrow (3)</math> sind sehr einfach. Die nicht-triviale Aussage des Satzes steckt im Schluss <math>(3) \Rightarrow (1)</math>.
Für reelle Banachalgebren ist der Satz im Allgemeinen falsch. Ist <math>C_{\R}([0,1])</math> die Banachalgebra der stetigen Funktionen <math>[0,1]\rightarrow \R</math> und ist <math>\varphi\colon C_{\R}([0,1]) \rightarrow \R</math> definiert durch <math>\varphi(f):=\int_0^1f(t)\,\mathrm{d}t</math>, so ist <math>\varphi</math> ein stetiges lineares Funktional. Zu jedem <math>f\in C_{\R}([0,1])</math> gibt es nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung ein <math>t_0\in [0,1]</math> mit <math>\varphi(f) = \int_0^1f(t)\,\mathrm{d}t = f(t_0)</math>, und <math>f(t_0)</math> liegt im Spektrum von <math>f</math>, denn <math>f-f(t_0)\cdot 1</math> hat eine Nullstelle, nämlich <math>t_0</math>, und ist daher nicht invertierbar. Daher erfüllt <math>\varphi</math> den dritten Punkt obigen Satzes, nicht aber den ersten, denn das Integrieren ist bekanntlich nicht multiplikativ.

Quellen

F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2.
Andrew M. Gleason: A characterization of maximal ideals. Journal d’Analyse Mathématique, Band 19 (1967), Seiten 171–172.
Jean-Pierre Kahane, Wiesław Żelazko: A characterization of maximal ideals in commutative Banach algebras. Studia Mathematica, Band 29 (1968), Seiten 339–343.