Satz von Gelfond-Schneider

Der Satz von Gelfond-Schneider ({{Modul:Vorlage:lang}} Modul:Vorlage:lang:103: attempt to index field 'wikibase' (a nil value)) ist ein bedeutender Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie. Mithilfe dieses Satzes konnte zum ersten Mal eine umfangreiche Klasse von transzendenten Zahlen erzeugt werden.<ref group="H"> Der Satz von Gelfond-Schneider ist, wie es Fridtjof Toenniessen in seiner Monographie von 2019 sagt (op.cit., S. 418), eine wahre Sternstunde der Mathematik. Aber trotz seiner Bedeutung können selbst mit ihm (und den zugehörigen Sätzen) viele Fragen zur Transzendenz auch heute noch nicht beantwortet werden.</ref><ref group="H">Völlig ungeklärt ist insbesondere die Frage nach der Transzendenz der Euler-Mascheroni-Konstante. Es ist nicht einmal bekannt, ob diese Konstante überhaupt eine irrationale Zahl ist. (Toenniessen, op.cit., S. 426) </ref><ref group="H"> Ähnlich unklar ist die Situation bei den Funktionswerten <math> \zeta(n) </math> der riemannschen Zetafunktion für die ungeraden natürlichen Zahlen <math> n=5,7,9, \ldots </math>. Auch über diese Zahlen kann man hinsichtlich Transzendenz beziehungsweise Irrationalität nichts sagen. (Toenniessen, op.cit., S. 427) </ref>

Der Satz wurde im Jahre 1934 von dem russischen Mathematiker Alexander Gelfond und unabhängig davon und nur wenig später von Theodor Schneider gefunden und bewiesen. Der Satz liefert die Lösung des siebten Hilbertschen Problems.

Aussage des Satzes

Der Satz von Gelfond-Schneider besagt:

Es seien <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> zwei komplexe Zahlen, die zudem algebraisch seien, wobei <math>\alpha \neq 0, 1</math> gelten soll und darüber hinaus <math> \beta \in {\C \setminus \Q }</math> sei.

Dann ist

<math>\, \alpha^{\beta} </math>

transzendent.<ref group="E"> Dabei gilt <math> \alpha^{\beta} = \exp (\beta \cdot \log \alpha) </math> Der komplexe Logarithmus ist nur bis auf ganzzahlige Vielfache von <math>2\pi\mathrm i </math> eindeutig bestimmt. Der Satz ist für jede Wahl des Zweigs des Logarithmus richtig.</ref>

Er lässt sich auch so formulieren, dass für Logarithmen zweier algebraischer Zahlen aus der linearen Unabhängigkeit über den rationalen Zahlen die lineare Unabhängigkeit über den algebraischen Zahlen folgt. In dieser Formulierung ist der Satz von Gelfond-Schneider in den 1960er Jahren von Alan Baker erheblich erweitert worden.

Der Satz von Baker lautet:

Wenn endlich viele algebraische Zahlen <math>a_i \neq 0 \, (i=1,2, \ldots , n ; n \in \N)</math> vorliegen, so dass <math> \log a_1, \ldots , \log a_n</math> über den rationalen Zahlen linear unabhängig sind, dann sind <math> 1, \log a_1, \ldots, \log a_n</math> auch linear unabhängig über den algebraischen Zahlen.

Anwendungen

Aus dem Satz von Gelfond-Schneider folgt unmittelbar die Transzendenz der folgenden Zahlen:

Die Gelfond-Schneider-Konstante <math> 2^{ \sqrt{2} }</math> sowie deren Quadratwurzel <math> \sqrt{2}^{\sqrt{2}} = \sqrt{ 2^{ \sqrt{2} } } </math>

Die Gelfond-Konstante <math>\, e^{\pi} </math>, da <math>e^\pi

= \left( e^{ \mathrm i \pi} \right)^\left(- \mathrm i \right) = (-1)^\left(- \mathrm i \right) </math> ist.<ref group="E">Man beachte, dass die imaginäre Einheit <math>\mathrm i</math> keine rationale Zahl ist.</ref>

Die Zahl <math>{\mathrm i}^{\mathrm i} </math>, die wegen <math>{\mathrm i}^{\mathrm i} = \left(e^{{\mathrm i} \frac{\pi}{2} }\right)^{\mathrm i}

= e^{-\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{\sqrt {e^{\pi} } }</math> eine reelle Zahl ist.

Die reelle Zahl <math>\frac{\log 2}{\log 3}</math> ist transzendent, denn sonst erhält man durch Einsetzen von <math>a=3</math>, <math>b= \frac {\log 2}{\log 3} = \log_{3}{2} </math>, da b notwendigerweise irrational ist<ref group="E"> Die so gesetzte reelle Zahl b ist der Logarithmus von 2 zur Basis 3. Wäre b als Bruchzahl darstellbar, so hätte man wegen <math>3^b= 2</math> nach einer einfachen Potenzrechnung eine natürliche Zahl, die sowohl als Potenz von 2 als auch als Potenz von 3 mit ganzzahligen positiven Exponenten darstellbar wäre. Das wäre indes unvereinbar mit dem Hauptsatz der Arithmetik.</ref>, einen Widerspruch.

Mit dem Satz von Baker ergibt sich darüber hinaus die Transzendenz gewisser Zahlen, für die der Transzendenzbeweis aus dem Satz von Gelfond-Schneider heraus nicht zu leisten gewesen wäre. Dazu gehören beispielsweise:<ref name="FT-01">Fridtjof Toenniessen: Das Geheimnis der transzendenten Zahlen. Eine etwas andere Einführung in die Mathematik. 2. Auflage. Springer, Berlin 2019, ISBN 978-3-662-58325-8, S. 418, 424–425, doi:10.1007/978-3-662-58326-5. </ref>

<math> \sqrt{2} \log 3 + \sqrt{3} \log 5</math>
<math> \pi+ \sqrt{2} \log 7 + \sqrt{3} \log 3</math>
<math> 2^{ \sqrt{2} } 3^{ \sqrt{3} }</math>

Siehe auch

Satz von Lindemann-Weierstraß
Vermutung von Schanuel, die diesen Satz verallgemeinert

Literatur

Alan Baker: Transcendental Number Theory. Cambridge University Press, London 1975, ISBN 978-0-521-20461-3 (Eintrag im Zentralblatt).
Peter Bundschuh: Einführung in die Zahlentheorie (= Springer-Lehrbuch). 2. Auflage. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1992, ISBN 3-540-55178-6, S. 241 ff., 270 ff.
Alexander Gelfond: On Hilbert's seventh problem. In: Doklady Akademii Nauk SSSR. Izvestija Akademii Nauk, Moskau 2.1934, S. 177–182. ISSN 0002-3264
Th. Schneider: Transzendenzuntersuchungen periodischer Funktionen. Bd. I. Transzendenz von Potenzen. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. de Gruyter, Berlin 172, 1935, S. 65–69. ISSN 0075-4102
Naum Iljitsch Feldman, Juri Walentinowitsch Nesterenko: Transcendental Numbers (= Encyclopedia of Mathematical Sciences. Band 44). Springer-Verlag, Berlin 1998, ISBN 3-540-61467-2 (MR1603604).
Theodor Schneider: Einführung in die transzendenten Zahlen (= Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Band 81). Springer Verlag, Berlin, Göttingen, Heidelberg 1957.
Fridtjof Toenniessen: Das Geheimnis der transzendenten Zahlen. Eine etwas andere Einführung in die Mathematik. 2. Auflage. Springer, Berlin 2019, ISBN 978-3-662-58325-8, doi:10.1007/978-3-662-58326-5.

Weblinks

Beweis (auf Englisch) (PDF-Datei; 89 kB)
Eric W. Weisstein: Gelfond's Theorem. In: MathWorld (englisch).

Einzelnachweise

Erläuterungen

Hinweise