Satz von Eilenberg-Zilber

Der Satz von Eilenberg-Zilber, benannt nach S. Eilenberg und J. A. Zilber, ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der algebraischen Topologie. Er stellt eine Verbindung zwischen den singulären Homologiegruppen eines kartesischen Produktes zweier topologischer Räume und Homologiegruppen der Räume selbst her.

Tensorprodukte von Kettenkomplexen

Sind <math>(C',d')</math> und <math>(C,d)</math> zwei Kettenkomplexe, so sei das Tensorprodukt <math>(C',d')\otimes(C,d)</math> der Kettenkomplex <math>(C,d)</math> mit

<math>C_n = \bigoplus_{i+j=n} C_i'\otimes C_j</math>

<math>d_n(c_i'\otimes c_j) := d_i'c_i'\otimes c_j+(-1)^ic_i'\otimes d_jc_j</math>, wobei <math>c_i'\in C_i', c_j\in C_j, i+j=n</math>.

Damit ist <math>d_n</math> auf Erzeugern erklärt, und die Rechnung

<math>d_{n-1}d_n(c_i'\otimes c_j) = d_{n-1}( d_i'c_i'\otimes c_j) + (-1)^id_{n-1}(c_i'\otimes d_jc_j)</math>

<math>=\underbrace{d_{i-1}'d_i'c_i'}_{=0}\otimes c_j + \underbrace{(-1)^{i-1}d_i'c_i'\otimes d_jc_j + (-1)^i d_i' c_i'\otimes d_jc_j}_{=0} + (-1)^i(-1)^{i-1}c_i'\otimes \underbrace{d_{j-1}d_jc_j}_{=0} = 0</math>

zeigt, dass tatsächlich wieder ein Kettenkomplex vorliegt.

Wenn die Randoperatoren <math>d', d</math> bzw. <math>d</math> nicht besonders erwähnt werden sollen, so schreibt man auch einfach <math>C=C'\otimes C</math>, das gilt insbesondere für singuläre Kettenkomplexe <math>S(X)</math> topologischer Räume <math>X</math>, bei denen die Randoperatoren gegeben sind.

Formulierung des Satzes

Sind <math>X</math> und <math>Y</math> topologische Räume, so ist der singuläre Kettenkomplex <math>S(X\times Y)</math> des Produktraumes ketten-homotopieäquivalent zum Tensorprodukt <math>S(X)\otimes S(Y)</math>.<ref>Robert M. Switzer: Algebraic Topology – Homotopy and Homology, Springer Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 212 (1975), ISBN 3-540-06758-2, Theorem 13.30</ref><ref>Edwin H. Spanier: Algebraic Topology, Springer-Verlag (1966), ISBN 0-387-90646-0, Kapitel 5, §3, Theorem 6</ref>

Bedeutung

Wegen der Homotopieäquivalenz haben <math>S(X\times Y)</math> und <math>S(X)\otimes S(Y)</math> dieselben Homologiegruppen. Die Berechnung der singulären Homologiegruppen eines Produktraumes ist daher auf ein Problem der homologischen Algebra zurückgeführt, nämlich auf die Berechnung der Homologie eines Tensorproduktes von Kettenkomplexen. Dieses algebraische Problem ist durch den Satz von Künneth gelöst.

Einzelnachweise