Satz von Cauchy (Geometrie)

Der Satz von Cauchy (auch Cauchy-Theorem, Cauchy`s Oberflächenformel) ist ein Resultat der Integralgeometrie, das auf den französischen Mathematiker Augustin-Louis Cauchy zurückgeht und besagt, dass für jeden konvexen Körper der gemittelte Flächeninhalt seiner Parallelprojektionen in die Ebene stets ein Viertel seiner Oberfläche beträgt.

Anders formuliert: der Erwartungswert bei zufällig gewählter Projektionsrichtung für das Verhältnis zwischen dem Flächeninhalt der Projektion und dem Inhalt der Oberfläche des Ursprungskörpers beträgt <math>1/4</math>.

Der Satz wurde von Cauchy 1841 und 1850 für <math>n=2,3</math> bewiesen<ref>Cauchy, Note sur divers théorèmes à la rectification des courbes et à la quadrature des surfaces, Compte Rendu Acad. Sci., Band 13, 1841, S. 1060–1065</ref><ref>Cauchy, Mémoire sur la rectification des courbes et la quadrature des surfaces courbes, Mém. Acad. Sci., Band 22 (3), 1850</ref> und im allgemeinen Fall von T. Kubota,<ref>Kubota, Über konvex-geschlossene Mannigfaltigkeiten im n-dimensionalen Raum, Sci. Rep. Tohoku University, Band 14, 1925, S. 85–99</ref> Hermann Minkowski<ref>Minkowski, Theorie der konvexen Körper, insbesondere Begründung ihres Oberflächenbegriffs, Gesammelte Abhandlungen, Band 2, S. 131–229</ref> und Tommy Bonnesen.<ref>Bonnesen, Les problèmes des isopérimètres et isoepiphanes, 1929</ref><ref>Ein Beweis findet sich zum Beispiel in Gian-Carlo Rota, Daniel Klain: Introduction to geometric probability, Cambridge UP 1997</ref><ref>Tsukerman, Veomett, A simple proof of Cauchy's surface area formula, Arxiv 2016</ref>

Beispiele

Für eine Kugel ist die Gültigkeit trivial zu zeigen: das Abbild einer Kugel vom Radius <math>r \,</math> bei paralleler Projektion in die Ebene ist stets ein Kreis vom gleichen Radius. Damit ist der Flächeninhalt jedes Bildes <math>\pi r^2 \,</math> und damit genau ein Viertel der Kugeloberfläche <math>4\pi r^2 \,</math>.

Die folgenden beiden Beispiele sollen lediglich den Sachverhalt verdeutlichen (die Werte in der rechten Spalte schwanken jeweils um den Wert <math>1/4</math>):

Das Bild eines Würfels mit Kantenlänge <math>a</math> ist je nach Projektionsrichtung unterschiedlich:

Projektionsrichtung	Bild	Flächeninhalt des Bildes	Verhältnis zur Würfeloberfläche <math>6a^2 \,</math>
parallel zu einer Kante	ein Quadrat mit Seitenlänge <math>a \,</math>	<math>a^2 \,</math>	<math>1:6 \,</math>
parallel zu einer Flächendiagonale	ein Rechteck mit Seitenlängen <math>a \,</math> und <math>a\sqrt2</math>	<math>a^2 \sqrt 2</math>	<math>1:3\sqrt2\approx1:4{,}2</math>
parallel zu einer Raumdiagonale	ein regelmäßiges Sechseck mit Seitenlänge <math>\frac a3\sqrt6</math>	<math>a^2\sqrt3</math>	<math>1:2\sqrt3\approx1:3{,}5</math>
andere Richtungen	unregelmäßige (aber punktsymmetrische) Sechsecke	unterschiedlich	unterschiedlich

Ebenso ist das Bild eines regelmäßigen Tetraeders mit Kantenlänge <math>a</math> je nach Projektionsrichtung unterschiedlich:

Projektionsrichtung	Bild	Flächeninhalt des Bildes	Verhältnis zur Tetraederoberfläche <math>{a^2} \sqrt 3</math>
entlang einer Kante	ein gleichschenkeliges Dreieck mit Basis <math>a \,</math> und Höhe <math>\frac a 2 \sqrt 2</math>	<math>\frac{a^2}{4}\sqrt 2</math>	<math>1:2 \sqrt 6\approx 1:4{,}90 </math>
parallel zu einer Höhe	ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge <math>a \,</math>	<math>\frac{a^2}{4} \sqrt 3</math>	<math>1:4 \,</math>
normal zu zwei windschiefen Kanten	ein Quadrat mit Seitenlänge <math>\frac a 2 \sqrt 2</math>	<math>\frac{a^2}{2}</math>	<math>1:2\sqrt 3\approx1:3{,}46</math>
andere Richtungen	unregelmäßige Dreiecke oder Vierecke	unterschiedlich	unterschiedlich

Verallgemeinerung

Im Fall eines konvexen Körpers im <math>n</math>-dimensionalen euklidischen Raum ist der Faktor 4 durch <math>\frac{nv_n}{v_{n-1}}</math> zu ersetzen, wenn <math>v_n</math> das Volumen der <math>n</math>-dimensionalen Einheitskugel bezeichnet.

Siehe auch

Dispersitätsanalyse

Einzelnachweise