Satz von Cantor

Der Satz von Cantor ist ein fundamentaler Lehrsatz der Mengenlehre. Er besagt, dass jede beliebige Menge <math>\,A</math> weniger mächtig als ihre Potenzmenge <math>\mathcal P(A)</math>, also von geringerer Mächtigkeit ist als die Menge all ihrer Teilmengen und dass damit stets die Ungleichung <math>|A|<|\mathcal P(A)|</math> gilt.

Der Satz stammt vom Mathematiker Georg Cantor und ist eine Verallgemeinerung von Cantors zweitem Diagonalargument. Er ist in allen Modellen gültig, die das Aussonderungsaxiom erfüllen.<ref group="A">Heinz-Dieter Ebbinghaus zufolge war es dieser Beweis Cantors, der Bertrand Russell die Idee zu dessen Antinomie lieferte.</ref><ref>Heinz-Dieter Ebbinghaus: Einführung in die Mengenlehre. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, Berlin 2003, S. 125. </ref><ref group="A">Der Satz gilt für alle Mengen, insbesondere auch für die leere Menge, denn <math>\mathcal P(\emptyset) = \{\emptyset\}</math> ist einelementig. Allgemein gilt für endliche Mengen, dass die Potenzmenge einer <math>n</math>-elementigen Menge <math>2^n</math> Elemente hat. Da stets <math>n<2^n</math>, ist der Satz von Cantor für endliche Mengen klar, er gilt aber, wie sich zeigt, auch für unendliche Mengen.</ref>

Beweis

Offensichtlich gilt <math> |A|\le|\mathcal P(A)|</math>, da <math>x\mapsto \{x\}</math> eine injektive Abbildung <math>A\to \mathcal P(A)</math> ist.

Wir wollen nun zeigen, dass es keine surjektive Abbildung <math>A\to \mathcal P(A)</math> geben kann.

Um einen Widerspruch zu erhalten, nehmen wir an, dass es doch eine surjektive Abbildung <math>f\colon A\to \mathcal P(A)</math> gibt.

Wir definieren nun <math>M:=\{x \in A \mid x \not\in f(x)\}</math>. Aufgrund des Aussonderungsaxioms ist <math>M</math> eine Menge und somit <math>M\in \mathcal P(A)</math>. Wegen der Annahme, dass <math>f</math> surjektiv ist, gibt es ein <math>a\in A</math> mit <math>f(a) = M</math>. Dann gilt aber nach Definition von <math>M</math>:

<math>a \in f(a)=M \, \iff a\notin f(a)</math>

Dieser Widerspruch zeigt, dass die Annahme falsch ist und es keine surjektive Abbildung <math>A\to \mathcal P(A)</math> geben kann – dann kann es aber erst recht keine bijektive Abbildung geben, was den Fall <math>|A| = |\mathcal P(A)|</math> ausschließt, und wir wissen <math>|A|<|\mathcal P(A)|</math>.

Historisches

Cantor lieferte einen ersten Beweis in seiner Abhandlung Über eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre von 1890.<ref></ref> Hierfür zeigte er, dass die Menge aller Funktionen <math>g\colon A\to \mathcal \{0, 1\}</math> mächtiger ist als <math>A</math> selbst, wobei die Menge der Funktionen <math>g</math> die gleiche Mächtigkeit wie die Potenzmenge von <math>A</math> besitzt.<ref group="A">Siehe Potenzmenge#Charakteristische Funktionen! Weitere Beweise stammen von Felix Hausdorff in Grundzüge der Mengenlehre (1914) und von Ernst Zermelo in Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre (1908).</ref>

Zusammenhang mit Cantors weiteren Arbeiten

Man kann die Überabzählbarkeit der Menge der reellen Zahlen auch über den Satz von Cantor beweisen, wenn wir wissen, dass <math>|\R|= |\mathcal{P}(\N)|</math>. Denn dann ist <math> |\N|<|\R|= |\mathcal{P} (\N)|</math>.

Des Weiteren lässt sich mit dem Satz von Cantor die zweite Cantorsche Antinomie zeigen. Diese besagt, dass die Allklasse <math>\{x \mid x=x\}</math> keine Menge ist, sondern eine echte Klasse. Denn nach Definition wäre die Potenzmenge der Allklasse eine Teilmenge derselben, was dem Satz von Cantor widerspricht.

Quellen

Oliver Deiser: Einführung in die Mengenlehre. Springer, Berlin Heidelberg 2004, 2. Auflage. ISBN 978-3-540-20401-5.
Heinz-Dieter Ebbinghaus: Einführung in die Mengenlehre. Mit Aufgaben und Lösungshinweisen. 4. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, Berlin 2003, ISBN 3-8274-1411-3.
Paul R. Halmos: Naive Mengenlehre (= Moderne Mathematik in elementarer Darstellung. Band 6). 4. Auflage. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1976, ISBN 3-525-40527-8.
Wacław Sierpiński: Cardinal and Ordinal Numbers (= Monografie Matematyczne. Band 34). 2. Auflage. Państowe Wydawnictwo Naukowe, Warschau 1965 (MR0194339).

Einzelnachweise

Anmerkungen