Satz von Beltrami-Enneper
Der Satz von Beltrami-Enneper (nach Eugenio Beltrami<ref>Eugenio Beltrami: Dimostrazione di due formole del Sig. Bonnet. In: Giornale di Matematiche. 4, 1866, ZDB-ID 281094-3, S. 123–127 (Auch in: Eugenio Beltrami: Opere matematiche. Band 1. Hoepli, Mailand 1902, S. 297–301), Online.</ref> und Alfred Enneper<ref>Alfred Enneper: Über asymptotische Linien. In: Nachrichten von der Georg-Augusts-Universität und der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. 12, 1870, ZDB-ID 502554-0, S. 493–510, (Resultat ist formuliert auf S. 499), Online</ref>) ist ein Resultat aus der Differentialgeometrie der Flächen.
Aussage
Das Quadrat der Torsion einer Asymptotenlinie ist gleich der negativen gaußschen Krümmung der Fläche, in der sich die Kurve bewegt, sofern die Krümmung der Kurve selbst nicht verschwindet.<ref>W. Blaschke, K. Leichtweiß: Elementare Differentialgeometrie (= Vorlesungen über Differentialgeometrie. 1 = Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. 1). 5. vollständig neubearbeitete Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1973, ISBN 3-540-05889-3, § 56, S. 133f.</ref><ref>Wolfgang Kühnel: Differentialgeometrie. Kurven – Flächen – Mannigfaltigkeiten. 5. aktualisierte Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2010, ISBN 978-3-8348-1233-9, Satz 3.19, S. 57.</ref> Eine Kurve auf einer Fläche heißt Asymptotenlinie, wenn die zweite Fundamentalform der Fläche entlang der Kurve verschwindet. Insbesondere ist die gaußsche Krümmung in jedem Punkt einer Asymptotenlinie nichtpositiv.
Anwendungsbeispiel
Aus dem Satz von Beltrami-Enneper folgt<ref>Victor Andreevich Toponogov: Differential geometry of curves and surfaces. A concise guide. Birkhäuser, Boston u. a. 2006, ISBN 0-8176-4384-2, Theorem 2.7.6.</ref>: Ist <math>X</math> eine reguläre Fläche, die eine Gerade <math>L=\{\gamma(t)\}</math> enthält (dabei <math>\gamma</math> Parametrisierung nach der Bogenlänge), und <math>\lambda(t)</math> ein an <math>X</math> tangentiales, auf <math>L</math> orthogonales Einheitsvektorfeld entlang <math>\gamma(t)</math>, dann ist die Krümmung von <math>X</math> in <math>\gamma(t)</math> gleich
- <math>-\left|\frac{d\lambda(t)}{dt}\right|^2</math>
Sei <math>X=\{x^2+y^2-z^2=1\}</math> das einschalige Hyperboloid und
- <math>\gamma(t)=\left(1,\frac{t}{\sqrt{2}},\frac{t}{\sqrt{2}}\right),
\lambda(t)=\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}\cdot\left(-t,\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\,.</math> Dann ist
- <math>\frac{d\lambda(t)}{dt}=\frac{1}{(1+t^2)^{3/2}}\cdot\left(-1,-\frac{t}{\sqrt{2}},\frac{t}{\sqrt{2}}\right)</math>
und damit
- <math>-\left|\frac{d\lambda(t)}{dt}\right|^2=\frac{-1}{(1+t^2)^2}=K\,.</math>
Einzelnachweise
<references />