Satz vom abgeschlossenen Graphen

Der Satz vom abgeschlossenen Graphen ist ein mathematischer Satz aus der Funktionalanalysis.<ref>Hans Wilhelm Alt: Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit. In: Lineare Funktionalanalysis. Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg 2012, ISBN 978-3-642-22260-3, S. 229–236, doi:10.1007/978-3-642-22261-0_7 (springer.com [abgerufen am 27. Oktober 2022]). </ref>

Formulierung

Es seien <math>X</math> und <math>Y</math> Banachräume und <math>A\colon X \rightarrow Y</math> ein linearer Operator. Es bezeichne <math>\Gamma (A):=\{(x,Ax)\mid x \in X\}</math> den Graphen von <math>A</math>.

Dann ist <math>A</math> genau dann beschränkt (und somit stetig), wenn <math>A</math> ein abgeschlossener Operator ist (d. h. <math>\Gamma \left(A\right)</math> abgeschlossen in <math>X \times Y</math>).

Herleitung

Der Satz vom abgeschlossenen Graphen kann auf das Lemma von Zabreiko zurückgeführt werden.<ref>P. P. Zabreiko: A theorem for semiadditive functionals. In: Functional Analysis and Its Applications. Band 3, Nr. 1, 1969, ISSN 0016-2663, S. 70–72, doi:10.1007/BF01078277 (springer.com [abgerufen am 27. Oktober 2022]). </ref>

Ferner kann der Satz wie folgt aus dem Satz von der offenen Abbildung hergeleitet werden. Wegen der Abgeschlossenheit des Graphen ist <math>\Gamma (A)</math> ein Banachraum. Trivialerweise ist <math>(x,Ax)\mapsto x</math> eine bijektive, lineare, beschränkte Abbildung zwischen <math>\Gamma (A)</math> und <math>X</math>. Aus dem Satz von der offenen Abbildung folgt dann, dass die Umkehrung <math>x \mapsto (x,Ax)</math> ebenfalls beschränkt ist, und das impliziert die Stetigkeit von <math>A</math>.

Verallgemeinerung

Der Satz vom abgeschlossenen Graphen kann in der Theorie lokalkonvexer Räume auf größere Raumklassen ausgedehnt werden, siehe dazu Raum mit Gewebe, ultrabornologischer Raum oder (LF)-Raum.

Anwendung

Der Satz von Hellinger-Toeplitz ist eine Folgerung des Satzes vom abgeschlossenen Graphen.

Literatur

Hans Wilhelm Alt: Lineare Funktionalanalysis. Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg 2012, ISBN 978-3-642-22260-3, doi:10.1007/978-3-642-22261-0.
Dirk Werner: Funktionalanalysis (= Springer-Lehrbuch). 8., vollständig überarbeitete Auflage. Springer Spektrum, Berlin 2018, ISBN 978-3-662-55406-7, doi:10.1007/978-3-662-55407-4.

Einzelnachweise