Napoleon-Dreieck
Das Napoleon-Dreieck, benannt nach dem französischen Feldherrn und Kaiser Napoléon Bonaparte, ist ein Begriff der Dreiecksgeometrie. Er bezeichnet zwei spezielle gleichseitige Dreiecke, die einem beliebigen Dreieck zugeordnet sind.
Definition
inneres Napoleon-Dreieck (blau): <math>\triangle O'_aO'_bO'_c</math>
Über den Seiten eines gegebenen beliebigen Dreiecks ABC werden drei gleichseitige Dreiecke <math>\triangle BCP_a</math>, <math>\triangle ACP_b</math> und <math>\triangle ABP_c</math> nach außen gerichtet gezeichnet und in diesen jeweils ihre Geometrischen Schwerpunkte (Flächenschwerpunkte) <math>O_a, O_b, O_c</math> eingetragen. Das (äußere) Napoleon-Dreieck <math>\triangle O_aO_bO_c </math> entsteht durch Verbinden dieser Schwerpunkte. Zeichnet man die drei gleichseitigen Dreiecke nach innen anstatt nach außen, so bilden deren Schwerpunkte <math>O'_a, O'_b, O'_c</math> das innere Napoleon-Dreieck <math>\triangle O'_aO'_bO'_c </math>.<ref name="Erickson">Martin J. Erickson: Aha! Solutions. MAA, 2009, ISBN 978-0-88385-829-5, S. 49–51 </ref><ref name="Coxeter">Harold Scott MacDonald Coxeter, Samuel L. Greitzer: Geometry Revisited. Random House, New York 1967, S. 62–65</ref>
Das Napoleon-Dreieck ist – unabhängig von der Form des ursprünglichen Dreiecks – stets gleichseitig, diese Aussage wird auch als Satz von Napoleon bezeichnet.<ref name="bg"/>
Es gibt keine bekannten Hinweise, dass dieser Satz von Napoleon gefunden wurde. In der Zeitschrift The Ladies’ Diary wurde der Satz 1825 von dem britischen Mathematiker William Rutherford erwähnt.<ref>Ulf von Rauchhaupt: Napoleon’s Theorem. In: FAZ.net. 15. August 2019, abgerufen am 24. April 2021.</ref><ref name="bg">Branko Grünbaum: Is Napoleon’s Theorem Really Napoleon’s Theorem?. In: The American Mathematical Monthly, Band 119, Nr. 6 (Juni‒Juli 2012), S. 495–501 (online, JSTOR) </ref>
Eigenschaften
Schwerpunkte von Teildreiecken
Der Schwerpunkt des gegebenen Dreiecks fällt mit dem Schwerpunkt des äußeren Napoleon-Dreiecks und mit dem Schwerpunkt des inneren Napoleon-Dreiecks zusammen.<ref>John Baker: Geometry and vectors. In: Australian Senior Mathematics Journal, 2001, Band 15 Ausgabe 2, S. 19–28 </ref>
Flächeninhalte von Teildreiecken
Bildet man die Differenz der Flächeninhalte des äußeren Napoleon-Dreiecks und des inneren Napoleon-Dreiecks, so erhält man den Flächeninhalt des gegebenen Dreiecks <math>ABC</math>, es gilt also:<ref name="Coxeter"/>
- <math>|\triangle O_aO_bO_c|-|\triangle O'_aO'_bO'_c|=|\triangle ABC| </math>
Dabei gilt für die Flächeninhalte der Napoleon-Dreiecke:<ref name="Erickson"/>
- <math>\begin{align}
|\triangle O_aO_bO_c|&-\frac{\sqrt{3}(a^2+b^2+c^2)}{24}+\frac{1}{2} |\triangle ABC|\\ |\triangle O'_aO'_bO'_c|&=\frac{\sqrt{3}(a^2+b^2+c^2)}{24}-\frac{1}{2} |\triangle ABC| \end{align}</math>
Entstehung von Sechsecken
Setzt man die an einer Seite des Dreiecks <math>AFB</math> angefügte Figur <math>ABECD</math> auch an den beiden anderen Seiten des Dreiecks <math>AFB</math> an (Figur 1), so entsteht eine unregelmäßige sternförmige Figur mit sechs äußeren Dreiecken (Figur 2). Die Schwerpunkte dieser sechs Dreiecke sind Eckpunkte des regelmäßigen Sechsecks <math>PQRSTU</math>, dessen drei Diagonalen sich im Schwerpunkt <math>V</math> des Napoleon-Dreiecks <math>GHK</math> schneiden.
Parkettierung
Das unregelmäßige Sechseck (Figur 3) setzt sich zusammen aus den vier Teildreiecken der Figur <math>AFBECD</math>, wobei das innere Dreieck <math>ABC</math> insgesamt dreimal vorkommt. Mit diesem aus vier Teildreiecken bestehenden Sechseck lässt sich die Ebene parkettieren (Figur 4).<ref>Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik - 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH Berlin 2015, ISBN 978-3-662-45460-2, Seiten 90 und 91</ref>
(Zur besseren Abgrenzung der Parkettbestandteile wurden verschiedene Farben verwendet.)
-
Figur 3: Unregelmäßiges Sechseck (Parkett-Detail)
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Figur 4: Parkettierung mit Napoleon-Figuren
Folgerung
Die Seiten eines Dreiecks <math>ABC</math> seien in jeweils drei gleichlange Abschnitte unterteilt. Über jedem der drei mittleren Abschnitte sei ein gleichseitiges Dreieck außerhalb von <math>ABC</math> errichtet. Dann bilden die Eckpunkte <math>D</math>, <math>E</math> und <math>F</math> dieser gleichseitigen Dreiecke, die nicht auf den Seiten von <math>ABC</math> liegen, ein weiteres gleichseitiges Dreieck. (Figur 5)
Beweis:
- Die äußeren Eckpunkte der gelben gleichseitigen Dreiecke sind gleichzeitig Schwerpunkte der Dreiecke über den Seiten von <math>ABC</math>. Deshalb ist das rot umrandete Dreieck das zu <math>ABC</math> gehörige Napoleon-Dreieck und damit gleichseitig. (Figur 6)<ref>Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik - 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH Berlin 2015, ISBN 978-3-662-45460-2, Seiten 98 und 279</ref>
Verallgemeinerung
Ersetzt man in der Definition die drei gleichseitigen Dreiecke durch ähnliche gleichschenklige Dreiecke, so spricht man von einem Kiepert-Dreieck.
Siehe auch
Literatur
- Harold Scott MacDonald Coxeter, Samuel L. Greitzer: Geometry Revisited. Random House, New York 1967, S. 62–65
- Ilya Belenkiy: New Features of Napoleon Triangles. In: Journal of Geometry,. Band 66, Heft 1, November 1999, S. 17–26.
- Dominik Wrazidlo, Manuel Plate: Napoleon auf der Spur. Spitzendreiecke mit konstanen Innenwinkeln. Junge Wissenschaft, Band 89, 2011, S. 16–22 (Digitalisat)
- Stan Dolan: Triangles around a given triangle. In: The Mathematical Gazette, Vol. 99, No. 546, November 2015, S. 432–443 (JSTOR)
- Alfred S. Posamentier, Ingmar Lehmann: The Secrets of Triangles. Prometheus Books, 2012, Kapitel 7 Areas of and within triangles
Weblinks
- Napoleon-Dreieck – eine Visualisierung mit dem dynamischen Geometrieprogramm GeoGebra
- Eric W. Weisstein: Inner Napoleon Triangle. In: MathWorld (englisch).
- Eric W. Weisstein: Outer Napoleon Triangle. In: MathWorld (englisch).
Einzelnachweise
<references />