Saturiertheit (Modelltheorie)

In der Modelltheorie ist eine Struktur saturiert, wenn in ihr sehr viele Typen realisiert sind.

Notationen

Für eine Menge <math>X</math> bezeichne <math>|X|</math> wie üblich ihre Mächtigkeit, für eine Sprache <math>L</math> sei <math>|L|</math> die Mächtigkeit der Vereinigung der Symbole der Sprache. Für eine Struktur <math>\mathfrak{M}</math> bezeichne <math>M</math> ihre Trägermenge.

Definition

Sei <math>\kappa</math> eine beliebige (möglicherweise auch endliche) Kardinalzahl und <math>\mathfrak{M}</math> eine Struktur.

<math>\mathfrak{M}</math> heißt <math>\kappa</math>-saturiert, wenn für jede Menge <math>A\subseteq M</math> mit <math>|A|<\kappa</math> jeder vollständige (und somit jeder) 1-Typ über <math>A</math> in <math>\mathfrak{M}</math> realisiert wird.

<math>\mathfrak{M}</math> heißt saturiert, wenn <math>\mathfrak{M} \ |M|</math>-saturiert ist.

Sätze

Existenz kappa-saturierter Erweiterungen

Dass saturierte Erweiterungen existieren, zeigt folgender Satz:

Zu jeder Kardinalzahl <math>\kappa\geqslant|L|</math> und jeder unendlichen L-Struktur <math>\mathfrak{M}</math> mit <math>|M|<2^\kappa</math> gibt es eine <math>\kappa^+</math>-saturierte elementare Erweiterung <math>\mathfrak{M}^*</math> mit <math>|M^*|\leqslant 2^{\kappa}</math>.<ref name="Prestel" details="S. 125">A. Prestel: Einführung in die Mathematische Logik und Modelltheorie. Braunschweig 1986</ref>

Universalität und Homogenität

Nach einem Satz von Michael D. Morley und Robert Vaught ist eine Struktur genau dann saturiert, wenn sie universell und homogen ist.<ref>Sacks, S. 112.</ref>

Ultraprodukte

Abzählbare Ultraprodukte sind <math>\aleph_1</math>-saturiert. Es gilt:

Sei <math>L</math> eine abzählbare Sprache und für <math>i \in \N</math> sei <math>\mathfrak{M}^i</math> eine <math>L</math>-Struktur. Dann ist das Ultraprodukt nach einem freien Ultrafilter <math>\aleph_1</math>-saturiert.<ref name="Prestel" details="S. 148" />

Insbesondere folgt daher aus der Kontinuumshypothese (und dem nächsten Satz, s. u.), dass abzählbare Ultraprodukte von Strukturen der Mächtigkeit von höchstens <math>2^{\aleph_0}</math> über abzählbaren Sprachen isomorph sind. Dazu zählen z. B. die hyperreellen Zahlen.

Eindeutigkeit von saturierten Strukturen

Es gilt folgender Isomorphiesatz:

Seien <math>\mathfrak{M}</math> und <math>\mathfrak{M}'</math> zwei elementar äquivalente L-Strukturen gleicher Mächtigkeit. Sind beide Strukturen saturiert, dann sind sie isomorph.<ref name="Prestel" details="S. 132" />

Abzählbare saturierte Modelle

Eine vollständige Theorie ohne endliche Modelle hat genau dann ein abzählbares saturiertes Modell, wenn die Theorie klein ist.<ref>Philipp Rothmaler: Einführung in die Modelltheorie, Spektrum Akademischer Verlag 1995, ISBN 978-3-86025-461-5, Satz 12.3</ref>

Beispiele

Eine unendliche Struktur <math>\mathfrak{M}</math> ist offenbar nie <math>\kappa</math>-saturiert, falls <math>\kappa>|M|</math>
<math>(\Q,<)</math> ist saturiert. Ein vollständiger 1-Typ über einer endlichen Menge besagt gerade, wo die Position von x in Bezug auf die endliche Menge ist. (Es gibt also über einer n-elementigen Menge genau 2n+1 vollständige 1-Typen.) Siehe auch: Dichte Ordnung
<math>(\R,<)</math> ist <math>\aleph_0</math>-saturiert, aber nicht saturiert. Der Typ <math>\{x > 1, x > 2, x > 3, \ldots\}</math> wird nicht realisiert.

Literatur

Gerald E. Sacks: Saturated Model Theory. W. A. Benjamin, 1972, ISBN 0-8053-8380-8.
Chang, C. C.; Keisler, H. J. Model theory. Third edition. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, 73. North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1990. ISBN 0-444-88054-2

Einzelnachweise