Spezielle unitäre Gruppe

Die spezielle unitäre Gruppe <math>\mathrm{SU}(n)</math> besteht aus den unitären n×n-Matrizen mit komplexen Einträgen, deren Determinante 1 beträgt. Sie ist eine kompakte, einfache Lie-Gruppe der reellen Dimension <math>n^2-1,</math> insbesondere auch eine differenzierbare Mannigfaltigkeit.

Ferner ist sie eine Untergruppe der unitären Gruppe <math>\mathrm U(n)</math> sowie der speziellen linearen Gruppe <math>\mathrm{SL}(n,\mathbb{C})</math>.

Lie-Algebra

Die zu <math>\mathrm{SU}(n)</math> korrespondierende Lie-Algebra <math>\mathfrak{su}(n)</math> entspricht dem Tangentialraum am Einselement der Gruppe. Sie besteht aus dem Raum aller schiefhermiteschen Matrizen mit Spur 0. Die surjektive Abbildung

<math>f\colon \mathfrak{su}(n) \to \mathrm{SU}(n),\quad\quad g\mapsto\exp{g}</math>

bildet ein Element der Lie-Algebra auf die Gruppe ab.

Zentrum

Das Zentrum von <math>\mathrm{SU}(n)</math> besteht aus allen Vielfachen <math>\xi E_n</math> der Einheitsmatrix <math>E_n</math>, die in <math>\mathrm{SU}(n)</math> liegen. Da <math>\det(\xi E_n) = \xi^n = 1</math>, müssen diese Vielfachen <math>n</math>-te Einheitswurzeln sein. Daher ist das Zentrum isomorph zur Restklassengruppe <math>\Z/n\Z</math>.

Bedeutung in der Physik

Die spezielle unitäre Gruppe spielt eine besondere Rolle in der theoretischen Physik, da das derzeitige Standardmodell der Elementarteilchenphysik mehrere <math>\mathrm{SU}(n)</math>-Symmetrien aufweist. So ist die interne Symmetriegruppe des Standardmodells durch <math>\mathrm{SU}(3)\times \mathrm{SU}(2) \times \mathrm U(1)</math> gegeben (wobei sich die drei Faktoren auf unterschiedliche Freiheitsgrade beziehen, nämlich Farbe, Flavour und elektrische Ladung). Darüber hinaus gibt es die näherungsweise gültige <math>\mathrm{SU}(3)</math>-Symmetrie zur Klassifikation von Hadronen, die aus den „leichten“ up-, down- und strange-Quarks bestehen (die Massen dieser Quarks werden vernachlässigt, die drei „schweren“ Quarks werden von dieser Gruppe nicht beschrieben).

Ferner ist der kompakte Anteil der speziellen orthochronen Lorentzgruppe isomorph zu <math>\mathrm{SU}(2) \times \mathrm{SU}(2)</math>.

Die Gruppe <math>\mathrm{SU}(2)</math> ist zugleich die sogenannte Doppelgruppe der gewöhnlichen Drehgruppe <math>\mathrm{SO}(3)</math> im dreidimensionalen Raum:

SU(2) als „Überlagerung“ der Drehgruppe SO(3)

Die SU(2), die Gruppe der „komplexen Drehungen“ des zweidimensionalen komplexen Raumes <math>\mathbb C^2</math>, mit Hauptanwendungen in der Quantenmechanik (→ Spindrehimpuls), wird von den drei Pauli-Matrizen <math>\sigma_i</math> erzeugt. Sie ist die zweiblättrige Überlagerungsgruppe der SO(3), der Drehgruppe des dreidimensionalen reellen Raumes <math>\mathbb R^3</math>, die von den Ortsdrehimpulsen erzeugt wird. Es gilt mit der imaginären Einheit <math>\mathrm i</math>:

<math>\mathrm{SU}(2) = \left\{\left.\exp\left(-\tfrac{\mathrm i}{2}\vec\alpha\cdot\vec\sigma\right) \right| \vec\alpha \in \R^3 \right\} </math> mit reellen Vektorkomponenten <math>\,\alpha_1,\, \alpha_2</math> und <math>\,\alpha_3</math>, den „Drehwinkeln“ (<math>\,\alpha_3</math> durchläuft beispielsweise das Intervall <math>[-2\pi,+2\pi ]</math>), und mit den in die drei Pauli-Matrizen umgewandelten Basiselementen der Quaternionen, also dem aus den drei 2×2-Pauli-Matrizen gebildeten formalen Drei-Vektor <math>\vec \sigma</math> (in der Sprache der Physik: „dem doppelten(!)<ref>Dass nicht <math>\vec\sigma</math>, sondern <math>\vec\sigma /2</math> der Spindrehimpuls-Operator ist, ergibt sich u. a. aus der zugehörigen Lie-Algebra, der Drehimpulsalgebra.</ref> Spindrehimpuls-Operator“). Der Punkt bedeutet das formale Skalarprodukt, <math>\vec \alpha\cdot\vec \sigma =\alpha_1\sigma_1+\alpha_2\sigma_2+\alpha_3\sigma_3\,.</math> Der scheinbar nur physikalisch motivierte Faktor 1/2 hat mathematisch u. a. zur Folge, dass sich die Spinoren im Gegensatz zu Vektoren nicht schon bei Drehungen um <math>2\pi (=360^\circ)</math>, sondern erst bei dem doppelten Wert reproduzieren. Dagegen erhält man die gewöhnliche Drehgruppe im dreidimensionalen reellen Raum, die SO(3), indem man <math>{\vec\sigma}/2</math> durch den Ortsdrehimpuls-Operator <math>\vec{\mathcal L}</math> ersetzt (ausgedrückt durch Differentialquotienten, z. B. <math>\mathcal L_3= \tfrac{\partial }{\mathrm i\,\partial\varphi}</math>). Dabei wurde <math>\hbar</math>, die reduzierte Plancksche Konstante, wie üblich durch Eins ersetzt, und <math>\varphi</math> ist der Azimutalwinkel (Drehung um die z-Achse). Jetzt reicht die Drehung um 360 ^o aus, um eine gewöhnliche Funktion – statt eines Spinors – zu reproduzieren.

In analoger Weise wird die SU(3), die Symmetriegruppe der Quantenchromodynamik, von den acht Gell-Mann-Matrizen erzeugt. Die Drehgruppe im <math>\mathbb R^4</math>, die SO(4), passt in diesem Fall schon aus Dimensionsgründen nicht zur SU(3), sondern es gilt SO(4) = SU(2) × SU(2) (siehe erneut den Artikel Quaternionen).

Literatur

Lehrbücher

Joachim Hilgert, Karl-Hermann Neeb: Lie-Gruppen und Lie-Algebren. Vieweg, Braunschweig u. a. 1999, ISBN 3-528-06432-3.
Nicolas Bourbaki: Lie Groups and Lie Algebras. Springer, Berlin u. a. 2002, ISBN 3-540-42650-7, Chapters 4–6.
Theodor Bröcker, Tammo tom Dieck: Representations of Compact Lie Groups (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 98). Corrected 2nd printing. Springer, New York NY u. a. 1995, ISBN 3-540-13678-9.
Walter Pfeifer: The Lie Algebras su(N). An Introduction. Birkhäuser, Basel u. a. 2003, ISBN 3-7643-2418-X.

Artikel

Jonathan L. Rosner: An Introduction to Standard Model Physics. TASI 1987, Scanned version from KEK.
Erhard Scholz: Introducing Groups into Quantum Theory (1926–1930). Vorlage:ArXiv

Weblinks

{{#if: Eric Weisstein | Eric Weisstein | Eric W. Weisstein }}: Special Unitary Group. In: MathWorld (englisch). {{#if: SpecialUnitaryGroup | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | SpecialUnitaryGroup | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }}

Einzelnachweise und Kommentare