Rossi-Verteilung

Die Rossi-Verteilung<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> ist die Verteilung des Maximums von zwei stochastisch unabhängigen Gumbel-verteilten Zufallsvariablen. Da die Gumbelverteilung eine Extremwertverteilung vom Typ I ist, die als Grenzverteilung des Maximums stochastisch unabhängiger und identisch verteilter Zufallsvariablen auftritt, kann die Rossi-Verteilung als eine Extremwertverteilung in einem weiteren Sinn aufgefasst werden. Sie wird auch als Zwei-Komponenten-Extremwertverteilung (engl. two component extreme value distribution, TCEV) bezeichnet.<ref name="Singh">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Sie wird vor allem in der Hochwasseranalyse verwendet, wenn zwei Einflussfaktoren mit jeweils eigenen Extremwertverteilungen vorliegen<ref name="Singh" />.

Definition

Eine stetige reellwertige Zufallsvariable <math>X</math> genügt einer Rossi-Verteilung mit den Parametern <math>c_1 \in \R, c_2 \in \R, d_1 > 0, d_2 >0</math>, wenn sie die Verteilungsfunktion

<math>F(x)= \exp\left(-e^{-\frac{x-c_1}{d_1}}\right) \exp\left(-e^{-\frac{x-c_2}{d_2}}\right)\quad\text{für } x \in \R </math>

besitzt.

Eigenschaften

Die oben angegebene Verteilungsfunktion <math>F</math> einer Rossi-Verteilung ist das Produkt von zwei Verteilungsfunktionen

<math>F_j(x) = \exp\left(-e^{-\frac{x-c_j}{d_j}}\right), \quad j=1,2, </math>

die jeweils zu einer Gumbel-Verteilung mit dem Lageparameter <math>c_j</math> und dem Skalenparameter <math>d_j</math> gehören. Für zwei stochastisch unabhängige Zufallsvariablen <math>X_1</math> und <math>X_2</math> mit den Verteilungsfunktion <math>F_1</math> und <math>F_2</math> hat die Zufallsvariable <math> X = \max\{X_1,X_2\}</math> die Verteilungsfunktion <math>F = F_1F_2</math>, da

<math> F(x) = P(X \leq x) = P(\max\{X_1,X_2\} \leq x) = P(X_1 \leq x, X_2 \leq x) = P(X_1 \leq x)P(X_2 \leq x) = F_1(x)F_2(x) </math>.

Die Rossi-Verteilung ist also die Verteilung des Maximums von zwei stochastisch unabhängigen Gumbel-verteilten Zufallsvariablen.

Eine Rossi-verteilte Zufallsvariable hat die Wahrscheinlichkeitsdichte

<math>f(x)=\left(\frac{1}{d_1}e^{\frac{x-c_1}{d_1}}+\frac{1}{d_2}e^{\frac{x-c_2}{d_2}}\right)\exp\left(-e^{-\frac{x-c_1}{d_1}}\right)\exp\left(-e^{-\frac{x-c_2}{d_2}}\right)\quad\text{für } x \in \R\;.</math>

Es wird auch die alternative Parametrisierung

<math> F(x) = \exp\left(- \lambda_1e^{-\frac{x}{d_1}} - \lambda_2e^{-\frac{x}{d_2}}\right) </math>

mit den Parametern <math>\lambda_1 >0 , \lambda_2 >0, d_1 > 0 , d_2 >0 </math> verwendet, die sich mit <math>\lambda_j = \exp(c_j/d_j)</math> für <math> j=1,2</math> ergibt.<ref name="Singh"/>

Einzelnachweise